7.3 Formule de Taylor-Young
On rappel la définition de fonction de classe \(C^1\) du 5.10.2.
On dit que \(f\) est de classe \(C^2\) si \(f\) est continue, dérivable et sa dérivée est de classe \(C^1\).
On dit que \(f\) est de classe \(C^n\) si \(f\) est continue, dérivable, et sa dérivée est de classe \(C^{n-1}\).
Soit \( f \) une fonction de classe \( C^n \) 7.3.1 dans un intervalle ouvert \( I \) contenant \(x=a\). Alors \( f \) admet un développement limité à l’ordre \( n \) en \(x=a\) donné par le polynôme de Taylor :
Grâce au 7.2.3, on peut supposer, sans perte de généralité, que \( a = 0 \).
Commençons par le cas \( n=1 \), i.e.,
\( f \) est continue, dérivable et \( f' \) et continue.
Alors, il faut montrer que:
Par définition de DL 7.1.4, il s’agit de vérifier que
Mais,
Puisque \( f \) est dérivable en 0, on en conclut par définition de dérivée, que:
Cas \( n = 2 \), i.e., \( f \) continue et dérivable, \( f' \) continue et dérivable, \( f'' \) continue.
Il faut montrer que:
,
En appliquant la règle de L’Hôpital 5.10.7, on a:
Cela est correct car \( f' \) est continue et dérivable.
Enfin, pour les cas \( n \geq 2 \), on répète le même raisonnement.
Dans cet exemple, nous utilisons les approximations de Taylor de \(f=\sqrt{1+x}\) pour calculer la valeur de \(\sqrt(2)=\sqrt{1+1}\). Plus l’ordre est important, plus nous obtenons des résultats précis.
On considère la fonction
Nous pouvons montrer que \(f\) est \(n\) fois dérivable et que \(f^n(0)=0\) pour tout \(n\). Donc, \(f\) admet comme développements limités les polynômes \(P_n=0\) pour tout \(n\geq 0\). En particulier, cela ne permet pas de retrouver l’intégralité du graphe de \(f\) lorsque l’on n’est pas proche de zéro.
L’exemple ci-dessous montre que la somme des termes du développement de Taylor ne récupere pas nécessairement la totalité de la fonction originale, même si l’on additionne un nombre infini de termes.
On considère le développment de \(f=\ln (x)\) en \(x_0=1\) et nous essayons d’utiliser les approximations polynomiales pour calculer le point \(B=ln(3)\).
Nous constatons que les approximations de Taylor successives (le point \(C\)) s’éloignent de plus en plus de \(B\) au fur et à mesure que l’ordre augmente.
Soit \(f\) une fonction infiniment dérivable dans un intervale ouvert \(I\) avec \(0\in I\). Alors la série de Taylor de \(f\) converge vers \(f\) si et seulement si le reste \(R_n(x)\) converge vers zéro lorsque \(n\) va vers l’infini.
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) dans un intervale ouvert \(I\) avec \(0\in I\). Alors
Pour \(n=0\), on a
Supposons maintenat que la formule est vrai pour \(n\) et montrons pour \(n+1\). Par construction,
Par intégration par parties, on a
Montrer que la série de Taylor de la fonction exponentielle \(e^x\) converge vers la fonction exponentielle, c.a.d, pour tout \(x\in \mathbb {R}\), on a \(\lim _{n\to \infty }|R_n(x)|=0\) et donc
Le graphe suivant montre les functions \(R_n(x)\) et \(\frac{R_n(x)}{x^n}\) pour la fonction exponentialle.
Supposons qu’il existe une constante \(C\) tel que pour tout \(n\), \(|f^n(x)|\leq C, \forall x\in I \). Montrer que la serie de Taylor de \(f\) en \(0\) converge vers \(f(x)\). Montrer que c’est le cas des fonctions \(\sin \) et \(\cos \). Remplacez l’exponentielle par les fonctions cosinus et sinus dans le graphique ci-dessus.
L’idée d’approximer une fonction compliquée par des fonctions plus simples est importante dans l’IA. Comme dans le cas des développements limités, il y a un théorème mathématique qui garantit que toute fonction continue peut être approximée par des fonctions plus simples appelées "réseaux de neurones". Voir l’article Cybenko 1989.