LU1MA001

5.3 Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé indispensable 5.3.1

(Théoreme des valeurs intermédiaires TVI) Soit \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) une fonction continue. Alors pour \(y\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in [a,b]\) tel que \(f(c)=y\).

Exemple 5.3.2


Exemple 5.3.3

  • À \(t=10h\) il fait \(17^\circ C\).

  • À \(t=11h\) il fait \(19^\circ C \).

Comme la temperature est une fonction continue de \(t\), et comme \(17{\lt}17.5{\lt}19\), il exist un instant \(t\) entre \(10h\) et \(11h\) où il fait \(17.5^\circ C\)

Exemple 5.3.4

  • Hier j’avais \(0\) euros.

  • Aujourd’hui j’ai 100 euros.

Est-ce que j’ai forcément eu 50 euros entre hier et aujourd’hui ?

Application 5.3.5

(Version équivalent)

Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) une fonction continue. Supposons que \( f(a) \) et \( f(b) \) n’ont pas le même signe. Alors \( f \) admet un zéro entre \( a \) et \( b \).

Idée : par continuité, \( f \) ne peut pas changer de signe sans passer par zéro.

Exemple 5.3.6

  • À 10 h, il fait -1°C

  • À 15 h, il fait 3°C

Donc, par le TVI, comme la température est une fonction continue, il existe \( t \in [10,15] \) où il fait 0°C.

Exemple 5.3.7

Soit \( P(x) = 1 + 2x - 3x^2 + 5x^3 \).

Montrer que \( P(x) \) admet un zéro réel :

  • On vérifie que \( P(1) = 1 + 2 - 3 + 5 = 5 \)

  • \( P(-1) = 1 - 2 - 3 - 5 = -9 \)

Comme \( P(-1) = -9 \) et \( P(1) = 5 \), on a \( P(-1) {\lt} 0 \) et \( P(1) {\gt} 0 \).

Par le théorème des valeurs intermédiaires, \( P(x) \) admet un zéro entre \( -1 \) et \( 1 \).

Exercice 5.3.8

L’image suivante représente la planète Terre et son cercle équatorial.

\includegraphics[scale=0.2]{images/equatortemperature}

Montrer qu’il y a toujours deux points opposés sur la ligne de l’équateur qui ont la même température.

Solution ▼

  • \(\theta \) représente l’angle sur le cercle de l’équateur.

  • \(T(\theta )\) est la température en fonction de l’angle.

Alors,

\[ T(\theta + 2\pi ) = T(\theta ) \]

(par périodicité de la température sur le cercle).

On veut montrer qu’il existe \(\alpha \) tel que :

\[ T(\alpha ) = T(\alpha + \pi ) \]

c’est-à-dire :

\[ T(\alpha + \pi ) - T(\alpha ) = 0 \]

On pose donc la fonction :

\[ \Delta (\theta ) = T(\theta + \pi ) - T(\theta ) \]

Et on cherche à montrer que la fonction \(\Delta \) admet un zéro.

Mais \(\Delta \) est continue (somme de fonctions continues).

  • \(\Delta (0) = T(0 + \pi ) - T(0)= T(\pi ) - T(0)\)

  • \(\Delta (\pi ) = T(\pi + \pi ) - T(\pi )= T(2\pi ) - T(\pi ) = - \Delta (0) \)

Donc la fonction \(\Delta \) change de signe.

Par le TVI \(\Rightarrow \Delta \) admet un zéro entre \(0\) et \(\pi \).

Exercice 5.3.9

La hauteur \(\ell \) d’un mur circulaire varie de façon continue quand on fait le tour du cercle. Montrer de façon precise, pourquoi il doit y avoir deux points séparés de 180 degrés le long du cercle où le mur a la même hauteur \(\ell \).

\includegraphics[scale=0.4]{images/tour}
Solution ▼

On utilise le TVI (théorème des valeurs intermédiaires) :

  • Par définition du problème, \(h(\theta ) = h(\theta + 2\pi )\)

  • On cherche à montrer qu’il existe \(\alpha \) tel que \(h(\alpha ) = h(\alpha + \pi )\)

ou, de manière équivalente :

\[ h(\alpha + \pi ) - h(\alpha ) = 0 \]

Posons donc la fonction :

\[ \Delta (\theta ) = h(\theta + \pi ) - h(\theta ) \]

\(\Delta \) est continue car somme de fonctions continues.

On veut montrer que la fonction \(\Delta (\theta )\) admet un zéro.

Observation :

  • \(\Delta (0) = h(0 + \pi ) - h(0) = h(\pi ) - h(0)\)

  • \(\Delta (\pi ) = h(\pi + \pi ) - h(\pi ) = h(2\pi ) - h(\pi ) = h(0) - h(\pi )\)

Donc :

\[ \Delta (\pi ) = -\Delta (0) \]

Donc la fonction \(\Delta \) change de signe entre \(0\) et \(\pi \).

\[ \Rightarrow \text{ donc par le TVI, il existe un } \alpha \in [0, \pi ] \text{ tel que } \Delta (\alpha ) = 0. \]
Exemple 5.3.10

  • À 10 h, il fait -1°C

  • À 15 h, il fait 3°C

Donc, par le TVI, comme la température est une fonction continue, il existe \( t \in [10,15] \) où il fait 0°C. Cet instant est-il nécessairement unique ?

Énoncé indispensable 5.3.11

(Théorème de la bijection) Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) une fonction continue strictement croissante (ou strictement décroissante). Soit \( y \) un réel compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \). Alors, il existe un unique point \( c \) dans l’intervalle \( [a, b] \) tel que \( f(c) = y \).

Preuve ▼

Par le TVI, il existe \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = y\).

À priori, \(c\) n’est pas unique .

Supposons que \(f\) soit strictement croissante, et qu’il existe \(c' \neq c\) avec \(f(c) = f(c') = y\).

Alors soit \(c' {\lt} c\) (\(\Rightarrow f(c') {\lt} f(c) \Rightarrow \text{contradiction}\))

ou alors \(c' {\gt} c\) (\(\Rightarrow f(c') {\gt} f(c) \Rightarrow \text{contradiction}\)).

Le même raisonnement marche pour \(f\) strictement decroissant.

Rappelons la définition de fonction réciproque 5.1.17. Alors:

Corollaire 5.3.12

Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) une fonction continue, strictement croissante. Alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}:[f(a), f(b)]\to [a,b]\), aussi continue, donnée par

\[ f^{-1}(y)= \text{l'unique } c\in [a,b] \text{ tel que } f(c)=y \text{ donné par le théorème de la bijection \ref{theorembijection}} \]
Attention 5.3.13

Le fait que la réciproque du 5.3.12 soit continue n’est pas évident.