LU1MA001

2.2 Formule d’Euler

Énoncé indispensable 2.2.1

Formule d’Euler pour l’exponentielle complexe

\[ e^{i\theta }=\cos (\theta )+i.\sin (\theta ) \]
Énoncé indispensable 2.2.2

L’exponentielle transforme la somme en produits

\[ e^{i(\theta _1+\theta _2)}=e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2} \]
Corollaire 2.2.3
\[ \cos (\theta _1+\theta _2)=\cos (\theta _1)\cos (\theta _2)-\sin (\theta _1).\sin (\theta _2) \]
\[ \sin (\theta _1+\theta _2)=\cos (\theta _1)\sin (\theta _2)+\sin (\theta _1).\cos (\theta _2) \]
Preuve

On utilise \(e^{i(\theta _1+\theta _2)}=e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2}\). Par la formule d’Euler

\[ e^{i(\theta _1+\theta _2)}=\cos (\theta _1+\theta _2)+i\sin (\theta _1+\theta _2) \]

Par contre,

\[ e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2}=(\cos (\theta _1)+ i\sin (\theta _1))(\cos (\theta _2)+ i \sin (\theta _2))= \]
\[ = (\cos (\theta _1).\cos (\theta _1)-\sin (\theta _1).\sin (\theta _2))+ i (\cos (\theta _1).\sin (\theta _2)+ \sin (\theta _1).\cos (\theta _2)) \]

Finalement, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales

Définition 2.2.4

Nombres complexes: forme polaire

\[ re^{i\theta } \]
Remarque 2.2.5

La science vise à comprendre le monde tel qu’il est, non tel que nous le souhaitons. Les nombres complexes sont essentiels à la mécanique quantique : l’équation de Schrödinger en dépend.

\[ i.\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi (\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi (\mathbf{r}, t) \]