2.2 Formule d’Euler
Énoncé indispensable
2.2.1
Formule d’Euler pour l’exponentielle complexe
\[ e^{i\theta }=\cos (\theta )+i.\sin (\theta ) \]
Énoncé indispensable
2.2.2
L’exponentielle transforme la somme en produits
\[ e^{i(\theta _1+\theta _2)}=e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2} \]
Corollaire
2.2.3
\[ \cos (\theta _1+\theta _2)=\cos (\theta _1)\cos (\theta _2)-\sin (\theta _1).\sin (\theta _2) \]
\[ \sin (\theta _1+\theta _2)=\cos (\theta _1)\sin (\theta _2)+\sin (\theta _1).\cos (\theta _2) \]
Preuve
On utilise \(e^{i(\theta _1+\theta _2)}=e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2}\). Par la formule d’Euler
\[ e^{i(\theta _1+\theta _2)}=\cos (\theta _1+\theta _2)+i\sin (\theta _1+\theta _2) \]
Par contre,
\[ e^{i \theta _1}.e^{i.\theta _2}=(\cos (\theta _1)+ i\sin (\theta _1))(\cos (\theta _2)+ i \sin (\theta _2))= \]
\[ = (\cos (\theta _1).\cos (\theta _1)-\sin (\theta _1).\sin (\theta _2))+ i (\cos (\theta _1).\sin (\theta _2)+ \sin (\theta _1).\cos (\theta _2)) \]
Finalement, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales
Définition
2.2.4
Nombres complexes: forme polaire
\[ re^{i\theta } \]
Remarque
2.2.5
La science vise à comprendre le monde tel qu’il est, non tel que nous le souhaitons. Les nombres complexes sont essentiels à la mécanique quantique : l’équation de Schrödinger en dépend.
\[ i.\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi (\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi (\mathbf{r}, t) \]