LU1MA001

\(\int _{\ln (2)}^{\ln (4)} \frac{e^{2t}}{e^{2t}+2}=\)

1. \(1\)

2. \(0\)

3. \(\ln (3)/2\)

4. \(\ln (2)\)

Le DL à l’ordre \(4\) en \(0\) de \(f(x)=\ln (\cos (x))\) est:

1. \(x^2 + 2.x^3 - x^4 + o(x^4)\)

2. \(\frac{x^3}{2} - 12.x^4 + o(4)\)

3. \(x - x^4 + o(x^4)\)

4. \(-\frac{x^2}{2}- \frac{x^4}{12} + o(x^4)\)

Le DL à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{2+\sinh (x)}\) est:

1. \(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48}+ o(x^3)\)

2. \(\frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48}+ o(x^3)\)

3. \(\frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{48}+ o(x^3)\)

4. \(\frac{1}{2}- \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} - \frac{5x^3}{48}+ o(x3)\)

\(\lim _{x\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1+\frac{x}{2}}{\cos (x)-1}=\)

1. \(1\)

2. \(0\)

3. \(\frac{-3}{2}\)

4. \(\frac{-3}{4}\)

5. \(\frac{-3}{6}\)

\(\lim _{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x(\sqrt{1+x}-e^{x/2})}=\)

1. \(1\)

2. \(0\)

3. \(\frac{3}{2}\)

4. \(\frac{2}{3}\)

5. \(\frac{3}{6}\)

Soit \(f(x)=(1+x)\ln (1+3x+2x^2)\). Alors:

1. Le graphe de \(f\) est situé au-dessus de la tangente au voisinage du point \(x = 0\).

2. Le graphe de \(f\) est situé au-dessous de la tangente au voisinage du point \(x = 0\).

3. Aucune des réponses précédentes

Soit \(f(x)=sin(x)\). Alors:

1. Le graphe de \(f\) est situé au-dessus de la tangente au voisinage du point \(x = \pi /4\).

2. Le graphe de \(f\) est situé au-dessous de la tangente au voisinage du point \(x = \pi /4\)..

3. Aucune des réponses précédentes

Le DL à l’ordre 3 en \(1\) de \(\sqrt{x}\)

1. \(1- \frac{1}{2}x- + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)\)

2. \(1+ \frac{1}{2}x- \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)\)

3. \(1+ \frac{1}{2}(x-1)- \frac{1}{8}(x-1)^2 + \frac{1}{16}(x-1)^3 + o((x-1)^3)\)

4. \(1- \frac{1}{2}(x-1)+ \frac{1}{8}(x-1)^2 - \frac{1}{16}(x-1)^3 + o((x-1)^3)\)

Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(y=x^2/2\) et \(y=\frac{1}{1+x^2}\)

1. \(\frac{1}{3}\)

2. \(\frac{\pi }{2}\)

3. \(\frac{\pi }{2}- \frac{1}{3}\)

4. \(-\frac{\pi }{2}+ \frac{1}{3}\)