LU1MA001

3.3 Multiplicité des racines

Exemple 3.3.1

(Multiplicité) Soit \(P(X)=(X-1)^2(X+1)=(X-1)(X-1)(X+1)\). La racine \(X=1\) apparaît deux fois. On dit qu’elle a multiplicité 2.

Définition 3.3.2

Soit \(P \in \mathbb {C}[X]\) un polynôme à coefficients complexes. On dit que \(a \in \mathbb {C}\) est une racine de multiplicité \(m\) s’il existe un polynôme \(Q\) tel que

\[ P(X) = (X - a)^m Q(X) \]

avec \(Q(a) \neq 0\). (On dit aussi que \(a\) est une racine d’ordre \(m\) de \(P\).)

Pour savoir si une racine est multiple et connaître son ordre, il faut considérer les polynômes dérivés.

Définition 3.3.3

Soit \(P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0\) un polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes. La dérivée de \(P\) est le polynôme \(P'\) de degré \(n - 1\) à coefficients complexes donné par

\[ P'(X) = n a_n X^{n-1} + (n - 1) a_{n-1} X^{n-2} + \dots + k a_k X^{k-1} + \dots + 2 a_2 X + a_1. \]

On va établir un critère pour vérifier que \(a\) est une racine d’ordre \(m\) de \(P\). Ce critère s’énonce en termes des dérivées successives \(P'\), \(P'' = P^{(2)}\), \(P''' = P^{(3)}\), …, \(P^{(k)}\) du polynôme \(P\).

Proposition 3.3.4

(Critère de multiplicité). Soit \(m \geq 1\) un entier. Le nombre complexe \(a\) est une racine de multiplicité \(m\) du polynôme \(P\) si et seulement si les dérivées successives de \(P\) vérifient

\[ P(a) = 0 = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a), \]

et \(P^{(m)}(a) \neq 0\).

Preuve ▼

On suppose tout d’abord que \( a \) est une racine d’ordre \( m \) de \( P \), c’est-à-dire que

\[ P(X) = (X - a)^m Q(X), \quad Q(a) \neq 0. \]

On va montrer que, pour tout \( k \) tel que \( 0 \leq k \leq m \), il existe un polynôme \( Q_k \) tel que

\[ P^{(k)}(X) = (X - a)^{m-k} Q_k(X), \]

et \( Q_k(a) \neq 0 \). On procède par récurrence sur \( k \) entre \( 0 \) et \( m \) :

  • Initialisation : Le résultat est vrai pour \( k = 0 \), il suffit de prendre \( Q_0 = Q \).

  • Hérédité : On suppose que l’on a déjà construit les polynômes \( Q_0, \ldots , Q_k \), avec \( k {\lt} m \), tels que

    \[ P^{(k)}(X) = (X - a)^{m-k} Q_k(X), \quad Q_k(a) \neq 0. \]

    Il s’agit maintenant de construire \( Q_{k+1} \). On calcule la dérivée de \( P^{(k)} \) :

    \[ P^{(k+1)}(X) = \left( (X - a)^{m-k} Q_k(X) \right)'. \]

    En appliquant la règle du produit, on obtient

    \[ P^{(k+1)}(X) = (m - k)(X - a)^{m-k-1} Q_k(X) + (X - a)^{m-k} Q_k'(X). \]

    En posant \( Q_{k+1}(X) = (m - k) Q_k(X) + (X - a) Q_k'(X) \), on a bien

    \[ P^{(k+1)}(X) = (X - a)^{m-(k+1)} Q_{k+1}(X), \]

    et

    \[ Q_{k+1}(a) = (m - k) Q_k(a) \neq 0. \]

Ainsi, par récurrence, on a

\[ P^{(k)}(X) = (X - a)^{m-k} Q_k(X) \quad \text{pour tout} \quad 0 \leq k \leq m. \]

En particulier, cela donne

\[ P^{(m)}(a) = Q_m(a) \neq 0, \]

tandis que pour \( 0 \leq k {\lt} m \), on a \( P^{(k)}(a) = 0 \).

Réciproquement, supposons que

\[ P(a) = 0 = P'(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a), \quad P^{(m)}(a) \neq 0. \]

Alors \( a \) est racine de \( P \). Notons \( \mu \) son ordre de multiplicité. D’après la démonstration précédente, on a

\[ P(a) = 0 = P'(a) = \cdots = P^{(\mu -1)}(a), \quad P^{(\mu )}(a) \neq 0. \]

Nécessairement, \( \mu = m \).