LU1MA001

2.1 Définition

Exemple 2.1.1

Chaque généralisation historique du concept de nombre résout un problème.

  • Nombres naturels \(\mathbb {N}\):=\(\{ 0,1,2,3,etc\} \) avec sommes et multiplications - compter les objets dans la vie quotidienne.

    Problème: L’équation \(x+1=0\) n’admet pas de solutions dans \(\mathbb {N}\).

  • Nombres entiers \(\mathbb {Z}\)=\(\{ \cdots , -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \} \) - nombres négatifs pour prendre en compte les soustractions.

    L’équation \(x+1\) admet une solution dans \(\mathbb {Z}\), \(x=-1\).

    Problème: L’équation \(2x=3\) n’admet pas de solutions dans \(\mathbb {Z}\) (Ex: Partager 3 pommes entre 2 personnes. Combien de pommes \(x\) revient à chaque personne ?)

  • Nombres rationnels \(\mathbb {Q}\)\(=\{ \cdots , -2,\cdots , \frac{-3}{2},\cdots ,1,\cdots , -\frac{1}{2},\cdots , -\frac{1}{8}, \cdots , 0, \cdots \} \) permettent les résultats de divisions de nombres entiers.

    Problème: Quelle est la longueur \(x\) de la diagonale d’un carré de côté de 1 ? Réponse: \(x^2=1^2+1^2\), donc \(x=\sqrt{2}\)

    \includegraphics[scale=0.5]{images/square1}

    \(\sqrt{2}\) n’est pas le résultat d’une division de deux nombres entiers, donc \(\sqrt{2}\) est un nouveau type de nombre. Un nombre algébrique.

  • Quelle est l’aire d’un cercle de rayon 1 ?

    \includegraphics[scale=0.4]{images/circler1}

    La réponse est \(\pi \). Ce n’est ni un nombre rationnel ni un nombre algébrique. C’est un nouveau type de nombre: un nombre réel.

\[ \mathbb {N}\subseteq \mathbb {Z}\subseteq \mathbb {Q}\subseteq \mathbb {R} \]

Les deux premières généralisations concernent le comptage et le partage quotidiens. Mais les deux dernières généralisations proviennent de la géométrie.

Tout cela était bien compris par les Grecs il y a 2000 ans.

D’autres nombres ont été découverts depuis :

  • Le nombre d’Euler \(e\). Découvert à la fin du XVIIe siècle, \(e\) résout un problème de dynamique : quelle est la fonction \(f\) dont la vitesse \(f'\) est égale à \(f\) elle-même, c’est-à-dire \( f' = f \) ?

    \(e\) est un nombre réel.

Les nombres réels résolvent-ils tous les problèmes ? La réponse est non : par exemple, il n’existe pas de nombre réel \( x \) tel que \( x^2 = -1 \). La découverte étonnante est qu’en élargissant les nombres réels avec un tel nombre, que l’on appelle \( i \), tous les problèmes sont résolus, c’est-à-dire que tout autre problème auquel vous pouvez penser disparaît.

Définition 2.1.2

Nombres complexes: forme cartesienne. Un nombre complex \(z\) est un nombre de la forme

\[ z=x+iy \]

où, \(x,y\in \mathbb {R}\) et \(i^2=1\).

Nous appelons:

  • \(x\) la partie réelle de \(z\). On écrit \(x=\mathcal{R}(z)\).

  • \(y\) la partie imaginaire de \(z\). On écrit \(y=\mathcal{I}(z)\).

  • \(|z|:=\sqrt{x^2+y^2}\) le module de \(z\).

  • Le nombre complex \(\overline{z}:=x-iy\) est le conjugé de \(z\).

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales

Attention 2.1.3

Écrire \(i = \sqrt{-1}\) n’a pas de sens formel. Si \(\sqrt{-1}\) avait un sens naturel, alors on aurait \(-1 = (\sqrt{-1})^2 = (\sqrt{-1})^2 = 1 = 1\) : clairement, ça ne va pas.

Operation 2.1.4

Somme de nombres complexes: forme cartesienne:

\[ z=a+ib, \hspace{1cm}z'=x+iy \]
\[ z+z'=a+ib+x+iy=(a+x) + i(b+y) \]
Operation 2.1.5

Multiplication de nombres complexes: forme cartesienne

\[ z=a+ib, \hspace{1cm}z'=x+iy \]
\[ z.z'=(a+ib)(x+iy)=ax+aiy + ibx+i^2.by=(ax-by)+i(ay+bx) \]
Attention 2.1.6

À ce stade, il peut être difficile de bien comprendre en profondeur la différence entre un point du plan, un vecteur du plan et un nombre complexe. Ne vous inquiétez pas, cela est tout à fait normal. La différence est assez subtile. Elle repose essentiellement sur le type d’opérations que l’on se permet de faire : aucune opération pour les points, l’addition pour les vecteurs, et la multiplication (en plus de l’addition) pour les nombres complexes.

Exercice 2.1.7

Vérifier que \(z.\overline{z}=|z|^2\).

Operation 2.1.8

(L’inverse d’un nombre complex) Soit \(z=x+iy\) un nombre complex. Si \(z\neq 0\) alors z admet un inverse, c.a.d, il exist un nombre complex \(z^{-1}\), tel que

\[ z.z^{-1}=1 \]

.

Trouvons une formule pour \(z^{-1}\):

\[ z^{-1}= \frac{\overline{z}}{|z|^2} \]

En effet,

\[ z.\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{z.\overline{z}}{|z|^2}=\frac{|z|^2}{|z|^2}=1 \]
Attention 2.1.9

En général, \(|z_1+z_2|\neq |z_1|+|z_2|\). Par exemple, si \(z_1=1+i\) et \(z_2=\overline{z_1}=1-i\), alors

\[ z_1+\overline{z}_1= 1+i +1-i=2 \]

Donc \(|z_1+z_2|=2\). Par contre, \(|z_1|=|z_2|=\sqrt{2} \)

Proposition 2.1.10

( inégalité triangulaire)

\[ |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| \]
Exemple 2.1.11

Le nombre complex \(z=1+i\) est solution de l’équation \(x^2 - 2 x + 2=0\).

Remarque 2.1.12

Multiplication par \(i\) = rotation de \(90^\circ \)