2.1 Définition
Chaque généralisation historique du concept de nombre résout un problème.
Nombres naturels \(\mathbb {N}\):=\(\{ 0,1,2,3,etc\} \) avec sommes et multiplications - compter les objets dans la vie quotidienne.
Problème: L’équation \(x+1=0\) n’admet pas de solutions dans \(\mathbb {N}\).
Nombres entiers \(\mathbb {Z}\)=\(\{ \cdots , -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \} \) - nombres négatifs pour prendre en compte les soustractions.
L’équation \(x+1\) admet une solution dans \(\mathbb {Z}\), \(x=-1\).
Problème: L’équation \(2x=3\) n’admet pas de solutions dans \(\mathbb {Z}\) (Ex: Partager 3 pommes entre 2 personnes. Combien de pommes \(x\) revient à chaque personne ?)
Nombres rationnels \(\mathbb {Q}\)\(=\{ \cdots , -2,\cdots , \frac{-3}{2},\cdots ,1,\cdots , -\frac{1}{2},\cdots , -\frac{1}{8}, \cdots , 0, \cdots \} \) permettent les résultats de divisions de nombres entiers.
Problème: Quelle est la longueur \(x\) de la diagonale d’un carré de côté de 1 ? Réponse: \(x^2=1^2+1^2\), donc \(x=\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) n’est pas le résultat d’une division de deux nombres entiers, donc \(\sqrt{2}\) est un nouveau type de nombre. Un nombre algébrique.
Quelle est l’aire d’un cercle de rayon 1 ?
La réponse est \(\pi \). Ce n’est ni un nombre rationnel ni un nombre algébrique. C’est un nouveau type de nombre: un nombre réel.
Les deux premières généralisations concernent le comptage et le partage quotidiens. Mais les deux dernières généralisations proviennent de la géométrie.
Tout cela était bien compris par les Grecs il y a 2000 ans.
D’autres nombres ont été découverts depuis :
Le nombre d’Euler \(e\). Découvert à la fin du XVIIe siècle, \(e\) résout un problème de dynamique : quelle est la fonction \(f\) dont la vitesse \(f'\) est égale à \(f\) elle-même, c’est-à-dire \( f' = f \) ?
\(e\) est un nombre réel.
Les nombres réels résolvent-ils tous les problèmes ? La réponse est non : par exemple, il n’existe pas de nombre réel \( x \) tel que \( x^2 = -1 \). La découverte étonnante est qu’en élargissant les nombres réels avec un tel nombre, que l’on appelle \( i \), tous les problèmes sont résolus, c’est-à-dire que tout autre problème auquel vous pouvez penser disparaît.
Nombres complexes: forme cartesienne. Un nombre complex \(z\) est un nombre de la forme
où, \(x,y\in \mathbb {R}\) et \(i^2=1\).
Nous appelons:
\(x\) la partie réelle de \(z\). On écrit \(x=\mathcal{R}(z)\).
\(y\) la partie imaginaire de \(z\). On écrit \(y=\mathcal{I}(z)\).
\(|z|:=\sqrt{x^2+y^2}\) le module de \(z\).
Le nombre complex \(\overline{z}:=x-iy\) est le conjugé de \(z\).
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales
Écrire \(i = \sqrt{-1}\) n’a pas de sens formel. Si \(\sqrt{-1}\) avait un sens naturel, alors on aurait \(-1 = (\sqrt{-1})^2 = (\sqrt{-1})^2 = 1 = 1\) : clairement, ça ne va pas.
Somme de nombres complexes: forme cartesienne:
Multiplication de nombres complexes: forme cartesienne
À ce stade, il peut être difficile de bien comprendre en profondeur la différence entre un point du plan, un vecteur du plan et un nombre complexe. Ne vous inquiétez pas, cela est tout à fait normal. La différence est assez subtile. Elle repose essentiellement sur le type d’opérations que l’on se permet de faire : aucune opération pour les points, l’addition pour les vecteurs, et la multiplication (en plus de l’addition) pour les nombres complexes.
Vérifier que \(z.\overline{z}=|z|^2\).
(L’inverse d’un nombre complex) Soit \(z=x+iy\) un nombre complex. Si \(z\neq 0\) alors z admet un inverse, c.a.d, il exist un nombre complex \(z^{-1}\), tel que
.
Trouvons une formule pour \(z^{-1}\):
En effet,
En général, \(|z_1+z_2|\neq |z_1|+|z_2|\). Par exemple, si \(z_1=1+i\) et \(z_2=\overline{z_1}=1-i\), alors
Donc \(|z_1+z_2|=2\). Par contre, \(|z_1|=|z_2|=\sqrt{2} \)
( inégalité triangulaire)
Le nombre complex \(z=1+i\) est solution de l’équation \(x^2 - 2 x + 2=0\).
Multiplication par \(i\) = rotation de \(90^\circ \)