LU1MA001

Calculer \(\int _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \cos (\theta )^2 d\theta \).

Calculer \(\int _{-R}^R \sqrt{R^2-x^2}dx\) (on posera \(\theta =\arcsin (\frac{x}{R})\)) et en déduire l’aire d’un disque de rayon \(R\).

Soit \(f(x)= \frac{x^3}{1+x^6}\). Calculer \(f^{(3)}(0)\).

Calculer le DL de \(\sin (x)^6\) à l’ordre \(8\) en \(0\).

Soit \(f\) définie sur \(]-1,1[\) par \(f(x)=\arctan (x)-x(1-x^2)^{\frac{1}{3}}\).

1. Est-ce que \(f\) est paire? impaire? Est-elle indéfiniment dérivable sur \(]-1,1[\)?

2. Montrer, à l’aide d’un théorème du cours que l’on citera, que \(f\) admet un développement limité à tout ordre en \(0\).

3. Soit \(f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2+ a_3x^3+ \cdots + a_{2n}x^{2n} + o(x^{2n})\) un développement limité de \(f\) à l’ordre \(2n\) en \(0\). Que peut-on dire des coefficients d’indices pairs \(a_0, a_2, a_4, . . . , a_{2n}\) ?

4. Déterminer le \(DL\) à l’ordre \(4\) en \(0\) de \(\frac{1}{1+x^2}\). En déduire le \(D\)L à l’ordre \(5\) de \(\arctan (x)\) en en \(0\).

5. Déterminer le \(DL\) à l’ordre \(4\) en \(0\) de \((1-x^2)^{\frac{1}{3}}\).

6. Déterminer le \(DL\) à l’ordre \(5\) en \(0\) de \(f\).

7. Calculer la limite \(\lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{x^5}\).