3.2 Racines des polynômes
Soit \(P = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0\) un polynôme à coefficients complexes. On dit que \(\alpha \in \mathbb {C}\) est une racine du polynôme \(P\) si \(P(\alpha ) = 0\).
Si \(\alpha \in \mathbb {C}\) est une racine du polynôme \(P\), alors il existe un polynôme \(Q\) tel que
(théorème de d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme de degré \(\geq 1\) à coefficients complexes admet une racine dans \(\mathbb {C}\). En particulier, tout polynôme \(P\) de degré \(n \geq 1\) a exactement \(n\) racines complexes (parfois répétées) \(\alpha _1, \ldots , \alpha _n\). Il se factorise sous la forme :
Le polynôme \(X^3-1\) admet une seule racine dans \(\mathbb {R}\). Mais dans \(\mathbb {C}\) on trouve aussi \(e^{i \frac{2p}{3}}\) et \(e^{i 2.\frac{2p}{3}}\). Donc, sur \(\mathbb {C}\) on peut factoriser
\[ X^3-1=(X-1)(X- e^{i \frac{2p}{3}} )(X-e^{i 2\frac{2p}{3}} ) \]On a la factorisation complète
\[ X^n - 1 = \prod _{k=0}^{n-1} \left(X - e^{\frac{2i k \pi }{n}}\right). \]