LU1MA001

Soit \( x(t) \) la position d’un point sur la droite réelle en fonction du temps \( t \). La vitesse du point est la dérivée de \( x(t) \), notée \( x'(t) \). L’équation différentielle la plus simple est le cas où la vitesse est constante, indépendamment de la position :

On connaît \( x'(t) \), donc on connaît \( x(t) \), qui est sa primitive !

C’est quoi \( k \) ?

Donc, \( k \) représente la position de départ. On l’appelle aussi la condition initiale.

Pour une maladie, plus la population de malades déjà infectés est importante, plus la maladie se propage. En d’autres termes, le taux de nouvelles contaminations est proportionnel à la population: en termes mathématiques, cela se traduit par l’équation :

où :

• \( P(t) \) est la taille de la population malade à chaque instant \( t \) ;

• \( P'(t) \), la dérivée de \( P(t) \), donne le taux de nouvelles contaminations ;

• \( a \) est la constante de proportionnalité.

On cherche donc une fonction \( P \) dont la dérivée \( P' \) est proportionnelle à \( P \). Un exemple connu est la fonction exponentielle \( e^{a t} \) :

En effet,

Est-ce que \( e^{a t} \) est le bon candidat ? Cela dépend du nombre de malades au départ, \( N=P(0) \) :

Donc, la fonction \( P(t) \) et la fonction \( e^{a t} \), bien qu’elles satisfassent la même équation différentielle, n’ont pas la même condition initiale. Mais ce n’est pas difficile de modifier \( e^{a t} \) pour que cela fonctionne : on pose

et on voit que

Donc, la fonction \( N \cdot e^{a t} \) vérifie tout ce qu’on attend de \( P(t) \). On verra plus bas (6.2.10) que, en effet, \( P(t) \) ne peut être que cette fonction.

Dans cet exemple, on cherche à modéliser la population d’un pays sans immigration/émigration, avec :

avec :

• taux de natalité = 20 / 1000 = \( a \)

• taux de mortalité = 15 / 1000 = \( b \)

• \(N_0\) taille initiale;

• \( N(t) \) = taille de la population au temps \( t \)

• Variation infinitésimale

  \[ N'(t) = + \underbrace{n N(t)}_{\text{+ nouvelles naissances}} - \underbrace{d N(t)}_{\text{- nouveaux décès}} = (n - d) N(t) \]

Exactement comme dans l’exemple 6.1.2, on obtient la solution:

(Loi de refroidissement de Newton) Supposons, par exemple, qu’on prenne une tasse de café chaud à \( 60^\circ C \) dans une terrasse en hiver, avec une température extérieure de \( 7^\circ C \). Combien de temps faut-il avant que le café refroidisse ?

La loi de refroidissement de Newton permet de résoudre ce problème : elle détermine que le taux de perte de chaleur d’un corps est proportionnel à la différence de température avec l’extérieur.

Soit \( T(t) \) la température de notre café en fonction du temps \( t \) et \( T_{\text{ext}} \) la température à l’extérieur. Alors, la loi de Newton dit que

où \( a {\gt} 0 \) est la constante de proportionnalité.

On réécrit

La stratégie générale pour résoudre les équations est d’abord de trouver une solution de l’équation

Mais cette équation est du type 6.1.2, et donc on a une solution de la forme

Ensuite, on cherche une solution particulière de 6.1.5, c’est-à-dire un cas particulier où la solution est facile. Dans le contexte du café qui refroidit, on a bien une solution évidente : si le café nous était fourni déjà froid à la température ambiante, alors sa température restera constante et égale à \( T_{\text{ext}} \) pour tout \( t \). On voit bien que la fonction

est une solution de 6.1.5.

Finalement, c’est un principe général (que l’on va voir en détail plus tard) que la somme des deux solutions trouvées

est une solution de l’équation 6.1.5. En effet,

et

Finalement, la condition initiale détermine \(K\):

Donc

et