LU1MA001

1.1 Points et Vecteurs

Rappel 1.1.1

La droite des nombres réels:

Définition 1.1.2

Le plan cartésien \(\mathbb {R}^2=\{ \text{paires ordonnés } (x,y): x,y\in \mathbb {R}\} \)

Attention 1.1.3

\((1,2)\neq (2,1)\). L’ordre compte.

Exemple 1.1.4

L’espace cartésien \(\mathbb {R}^3\).

Définition 1.1.5

(Vecteurs du Plan) Un vecteur est la différence entre deux points.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent:

  • la même direction (colinéaires),

  • le même sens

  • la même longeur (norme)

Attention 1.1.6

Les points et les vecteurs sont des types d’objets différents.

\[ \text{Point} \neq \text{Vector} \]

Un vecteur indique comment passer d’un point à un autre.

\[ \text{Point} + \text{Vector} = \text{Nouveau Point} \]

Pour cette raison, en mathématiques, on prend soin de représenter les vecteurs et les points dans deux univers distincts. Les points appartiennent au plan cartésien, tandis que les vecteurs appartiennent à l’ espace vectoriel.

Attention 1.1.7

À ce stade, il peut être difficile de bien comprendre en profondeur la différence entre un vecteur et un point. Ne vous inquiétez pas, cela est tout à fait normal. Tout deviendra beaucoup plus clair lorsque vous aborderez les espaces vectoriels au deuxième semestre.

Operation 1.1.8

Somme de deux vecteurs \(\vec{v}+\vec{w}\)

Exemple 1.1.9

Somme de vecteurs dans l’espace

Operation 1.1.10

Multiplication d’un vecteur \(\vec{v}\) par un scalaire \(\lambda \), \( \lambda \vec{v} \)

Operation 1.1.11

Combinaison de sommes et multiplications par scalaires (combinaison linéaire):

\[ \lambda _1\vec{v_1}+ \lambda _2\vec{v_2}+\cdots \lambda _n\vec{v_n} \]
Exemple 1.1.12

Combinaisons linéaires dans le plan.

Exemple 1.1.13

Combinaison linéaire = faire une boucle!

Exemple 1.1.14

Combinaisons linéaires dans l’espace.

Exercice 1.1.15

Considerons les vecteurs du plan

Écrire:

  1. Le vecteur \(\vec{w}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\);

  2. Le vecteur \(\vec{v}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{w}\) et \(\vec{u}\);

  3. Le vecteur \(\vec{u}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\);

Définition 1.1.16

On dit qu’une famille de vecteurs (du plan ou de l’espace)

\[ \vec{v_1},\vec{v_2}, \cdots , \vec{v_n} \]

est liée s’il exist une choix de coefficients \(\lambda _1, \lambda _2,\cdots , \lambda _n\) non tous nuls tels que

\[ \lambda _1\vec{v_1}+ \lambda _2\vec{v_2}+\cdots \lambda _n\vec{v_n}=\vec{0} \]

Dans le cas contraire on dit que la famille est libre.

Exemple 1.1.17

La famille de vecteurs du plan \(\vec{e_1}=(1,0), \vec{e_2}=(0,1)\) est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient

\[ \vec{0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\lambda _1.\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda _2.\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda _1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda _2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda _1 \\ \lambda _2 \end{pmatrix} \]

Donc, \(\lambda _1=\lambda _2=0\).

Exemple 1.1.18

La famille de vecteurs de l’espace

\[ \vec{e_1}=(1,0,0), \vec{e_2}=(0,1,0),\vec{e_3}=(0,0,1) \]

est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient

\[ \vec{0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\lambda _1.\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda _2.\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda _3.\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda _1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda _2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda _3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda _1 \\ \lambda _2 \\ \lambda _3 \end{pmatrix} \]

Donc, \(\lambda _1=\lambda _2=\lambda _3=0\).

Exercice 1.1.19

Montrer que la famillie de vecteurs du plan \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) de l’exercice 1.1.15 est liée.

Exemple 1.1.20

Une famille de deux vecteurs colinéaires dans le plan est toujours liée:

Exemple 1.1.21

Une famille de deux vecteurs colinéaires dans l’espace est toujours liée:

Définition 1.1.22

Une base de vecteurs:

  • dans le plan = famille libre avec deux vecteurs

  • dans l’espace = famille libre avec trois vecteurs.

Exemple 1.1.23

Base canonique

Dans le plan: \(\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Dans l’espace: \(\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{k}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Proposition 1.1.24

Tout vecteur dans le plan s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique:

Dans le plan:

\[ \vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}= v_x.\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v_y. \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= v_x. \vec{i} + v_y. \vec{j} \]

Dans l’espace

\[ \vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}= v_x.\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + v_y. \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ v_z. \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= v_x. \vec{i} + v_y. \vec{j}+ v_z.\vec{k} \]

À partir de maintenant, on va prendre l’habitude d’écrire tous nos vecteurs comme ça.