1.1 Points et Vecteurs
La droite des nombres réels:
Le plan cartésien \(\mathbb {R}^2=\{ \text{paires ordonnés } (x,y): x,y\in \mathbb {R}\} \)
\((1,2)\neq (2,1)\). L’ordre compte.
L’espace cartésien \(\mathbb {R}^3\).
(Vecteurs du Plan) Un vecteur est la différence entre deux points.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent:
la même direction (colinéaires),
le même sens
la même longeur (norme)
Les points et les vecteurs sont des types d’objets différents.
Un vecteur indique comment passer d’un point à un autre.
Pour cette raison, en mathématiques, on prend soin de représenter les vecteurs et les points dans deux univers distincts. Les points appartiennent au plan cartésien, tandis que les vecteurs appartiennent à l’ espace vectoriel.
À ce stade, il peut être difficile de bien comprendre en profondeur la différence entre un vecteur et un point. Ne vous inquiétez pas, cela est tout à fait normal. Tout deviendra beaucoup plus clair lorsque vous aborderez les espaces vectoriels au deuxième semestre.
Somme de deux vecteurs \(\vec{v}+\vec{w}\)
Somme de vecteurs dans l’espace
Multiplication d’un vecteur \(\vec{v}\) par un scalaire \(\lambda \), \( \lambda \vec{v} \)
Combinaison de sommes et multiplications par scalaires (combinaison linéaire):
Combinaisons linéaires dans le plan.
Combinaison linéaire = faire une boucle!
Combinaisons linéaires dans l’espace.
Considerons les vecteurs du plan
Écrire:
Le vecteur \(\vec{w}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\);
Le vecteur \(\vec{v}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{w}\) et \(\vec{u}\);
Le vecteur \(\vec{u}\) comme combinaison lineaire de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\);
On dit qu’une famille de vecteurs (du plan ou de l’espace)
est liée s’il exist une choix de coefficients \(\lambda _1, \lambda _2,\cdots , \lambda _n\) non tous nuls tels que
Dans le cas contraire on dit que la famille est libre.
La famille de vecteurs du plan \(\vec{e_1}=(1,0), \vec{e_2}=(0,1)\) est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient
Donc, \(\lambda _1=\lambda _2=0\).
La famille de vecteurs de l’espace
est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient
Donc, \(\lambda _1=\lambda _2=\lambda _3=0\).
Montrer que la famillie de vecteurs du plan \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) de l’exercice 1.1.15 est liée.
Une famille de deux vecteurs colinéaires dans le plan est toujours liée:
Une famille de deux vecteurs colinéaires dans l’espace est toujours liée:
Une base de vecteurs:
dans le plan = famille libre avec deux vecteurs
dans l’espace = famille libre avec trois vecteurs.
Base canonique
Dans le plan: \(\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Dans l’espace: \(\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{k}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Tout vecteur dans le plan s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique:
Dans le plan:
Dans l’espace
À partir de maintenant, on va prendre l’habitude d’écrire tous nos vecteurs comme ça.