LU1MA001: Théorème des Accroissements Finis

5.10 Théorème des Accroissements Finis

Exemple 5.10.1

Supposons qu’on fait Paris–Lyon (600 km) en voiture en 4 h. On arrive à la sortie de l’autoroute et on doit payer 1000 euros. Pourquoi ?

Vitesse moyenne :

\[ \frac{600}{4} = 150 \, \text{km/h} \]

Vitesse instantanée ? théorème des accroissements finis (TAF) $\Rightarrow $ il y a forcément un moment pendant le voyage où l’on est à la vitesse instantanée égale à la vitesse moyenne, soit 150 Km/h

Définition 5.10.2

On dit qu’une fonction $f$ est de classe $C^1$ sur $[a,b]$ si $f$ est continue, dérivable sur $]a,b[$ et sa dérivée $f'$ est aussi continue.

Theorem 5.10.3 des Accroissements Finis (TAF)

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ (5.10.2) sur un intervalle $[a,b]$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que

\[ \underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{\text{Vitesse moyenne}}=\underbrace{f'(c)}_{\text{vitesse instantanée}} \]

Quizz 5.10.4

Pour chaque exemple, expliquer si le Théorème 5.10.3 s’applique et si oui, trouver un point $c$ comme dans l’énoncé:

$\includegraphics[scale=0.3]{images/mean1}$ $\includegraphics[scale=0.3]{images/mean2}$ $\includegraphics[scale=0.3]{images/mean3}$

$\includegraphics[scale=0.3]{images/mean4}$ $\includegraphics[scale=0.3]{images/mean5}$ $\includegraphics[scale=0.3]{images/mean6}$

$\includegraphics[scale=0.4]{images/mean7}$

Exemple 5.10.5

Changer les parametres $a$ et $b$ pour voir l’effet sur le point $c$:

Pour démontrer le TAF on a besoin du lemme suivant:

Lemme 5.10.6 de Rolle

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ avec $f'$ aussi continue et tel que $f(a)=f(b)$ (ie, $f$ est de classe $C^1$). Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que

\[ f'(c)=0 \]

$\includegraphics[scale=0.4]{images/rolle}$

Preuve ▼

Comme $ f' $ est continue, on a

\[ \int _a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a) = 0. \]

Supposons que $ f'(x) {\gt} 0 $ pour tout $ x $.
Alors

\[ \int _a^b f'(x) \, dx {\gt} 0, \]

ce qui est une contradiction.
Ainsi, il existe un point où $ f'(x) {\lt} 0 $.
En même temps, supposons $ f'(x) {\lt} 0 $ pour tout $ x $.
Alors

\[ \int _a^b f'(x) \, dx {\lt} 0, \]

ce qui est une contradiction.
Conclusion: Il existe un point $ x_1 $ tel que $ f'(x_1) {\gt} 0 $ et un point $ x_2 $ tel que $ f'(x_2) {\lt} 0 $.
Comme $ f' $ est continue, par le TVI 5.3.1, il existe un point $ c $ tel que $ f'(c) = 0 $.

Démonstration du TAF avec le lemme de Rolle ▼

Soit $ f : [a,b] \to \mathbb {R} $ continue et dérivable sur $ ]a,b[ $.

Cas 1 : Si $ f(a) = f(b) $, alors

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0, \]

et le théorème de Rolle donne $ c \in ]a,b[ $ tel que

\[ f'(c) = 0 = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Cas 2 : Si $ f(a) \neq f(b) $, supposons sans perte de généralité que $ f(b) {\gt} f(a) $ (sinon, considérer $-f$).

On pose alors

\[ T(x) := f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a). \]

On a

\[ T(a) = f(a) - 0 = f(a), \]

\[ T(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a). \]

Donc

\[ T(a) = T(b). \]

La fonction $ T $ est dérivable avec

\[ T'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Par le théorème de Rolle, il existe $ c \in ]a,b[ $ tel que

\[ T'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0. \]

Ainsi,

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

On peut maintenant démontrer le résultat 5.5.6:

Démonstration du 5.5.6 sous hypothèse que $f'$ est continue. ▼

C’est une conséquence directe du lemma de Rolle. On donne une démonstration pour le deuxième cas: Supposons $b{\gt}a$. On veut montrer que $f(b){\gt}f(a)$ ou de façon équivalente, que $f(b)-f(a){\gt}0$. Par theorem 5.10.3 on a $f(b)-f(a)=(b-a).f'(c)$. Comme $b{\gt}a$, on a $b-a{\gt}0$. Aussi, comme $f'{\gt}0$, on a $f'(c){\gt}0$. Donc $f(b)-f(a)=(b-a).f'(c){\gt}0$.

Pour conclure, voici un autre corollaire très pratique:

Corollaire 5.10.7

(Règle de l’Hôpital) Soient $f$ et $g$ des fonction de classe $C^1$ (5.10.2) avec $g'(x)\neq 0$ pour tout $x\neq a$. Alors

\[ \lim _{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}= \lim _{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Preuve ▼

On a

\[ \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\frac{x-a}{g(x)-g(a)} \]

Par le TAF 5.10.3, il exist $c\in [a,x]$ et $d\in [a,x]$ avec $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)$ et $\frac{x-a}{g(x)-g(a)}=\frac{1}{g'(d)}$. Donc

\[ \lim _{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim _{x\to a} \frac{f'(c)}{g'(d)}= \lim _{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Exemple 5.10.8

\[ \lim _{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} \quad \text{avec} \quad f'(x) = -\sin (x), \quad f(0) = 0, \quad g(0) = 0. \]

\[ \lim _{x \to 0} \frac{-\sin (x)}{x} = 0 \quad \text{d'où} \quad \lim _{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = 0. \]

\[ \text{Donc:} \quad \lim _{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = 0. \]

Exemple 5.10.9

\[ \lim _{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \quad \text{avec} \quad f'(x) = \cos (x), \quad f(0) = 0, \quad g(0) = 0. \]

\[ \lim _{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim _{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} = 1. \]

\[ \text{Donc:} \quad \lim _{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1. \]

Exemple 5.10.10

\[ \lim _{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \quad \text{avec} \quad f'(x) = e^x, \quad f(0) = 1, \quad g(0) = 0. \]

\[ \lim _{x \to 0} \frac{e^x}{1} = +\infty . \]

\[ \text{Donc:} \quad \lim _{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = +\infty . \]