6.2 Équations linéaires d’ordre 1
Soient
\( t \) le paramètre temps dans l’intervalle \( I \).
\( y(t) \) une quantité qui dépend de \( t \).
Une équation différentielle ordinaire d’ordre \( n \) est une équation
où \( F : I \times \mathbb {R}^n \to \mathbb {R} \) est une fonction à plusieurs variables 8.
Une solution est une fonction \( y(t) \) qui vérifie l’équation différentielle.
Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est une équation différentielle de la forme :
où \( a \) et \( b \) sont des fonctions continues sur l’intervalle ouvert \( I \), et \( y(x) \) est la fonction inconnue.
Le cas le plus simple, appelé homogène, est celui où le « second membre » \( b(x) \) est nul.
L’équation différentielle homogène associée à 6.2.3 est donc l’équation différentielle suivante :
Un problème de Cauchy linéaire d’ordre 1 est la donnée d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 et d’une condition initiale \( (x_0, y_0) \in I \times \mathbb {R} \). On le note généralement ainsi :
Une solution du problème de Cauchy 6.2.6 est une solution \( f : I \to \mathbb {R} \) de l’équation
vérifiant \( f(x_0) = y_0 \).
Soient \( f_1 \) et \( f_2 \) deux solutions de l’équation homogène 6.2.4 et \( \lambda \in \mathbb {R} \). Alors
est aussi une solution de l’équation homogène 6.2.4
Par linéarité de la dérivation, on a
donc pour tout \( x \in I \),
ce qui conclut la preuve.
Soient \( f_1 \) et \( f_2 \) deux solutions de l’équation 6.2.3. Alors
est une solution de l’équation homogène 6.2.4
Par linéarité de la dérivation, on a
d’où le résultat.
Soit \( f_1 \) une solution de l’équation différentielle linéaire
et \( f_2 \) une solution de
et soit \( \lambda \in \mathbb {R} \). Alors \( \lambda f_1 + f_2 \) est une solution de l’équation
On calcule
ce qui donne
d’où le résultat.
On considère l’équation homogène
On note \( A : I \to \mathbb {R} \) une primitive de \( a \). Alors:
Les solutions de cette équation sont exactement les fonctions \( I \to \mathbb {R} \) de la forme
\[ x \mapsto C e^{A(x)}, \]où \( C \in \mathbb {R} \) est une constante quelconque.
Tout problème de Cauchy associé à cette équation et avec condition initiale \( y(x_0) = y_0 \) admet une unique solution \( I \to \mathbb {R} \) donnée par
\[ x \mapsto y_0 e^{A(x) - A(x_0)}. \]
Montrons que toute solution est de cette forme.
Soit \( f \) une solution de \( y'(x) = a(x)y(x) \).
On note \( g : I \to \mathbb {R} \) la fonction \( x \mapsto e^{A(x)} \).
Alors \( g \) ne s’annule pas sur \( I \), donc on peut considérer la fonction \( h : I \to \mathbb {R} \) définie par
On calcule alors \( h'(x) \) :
pour tout \( x \in I \).
Donc \( h' = 0 \).
Ce qui implique que \( h \) est une fonction constante égale à \( C \).
Alors, par construction, on a \( f(x) = C g(x) \) pour tout \( x \in I \).
Ainsi, toute solution est de la forme souhaitée.
On considère l’équation
Alors:
L’équation 6.2.12 admet des solutions \( f : I \to \mathbb {R} \).
Soit \( f_0 \) une solution de 6.2.12. Alors, l’ensemble des solutions de l’équation 6.2.12 est exactement l’ensemble des fonctions \( f : I \to \mathbb {R} \) de la forme
\[ f = f_0 + h, \]où \( h \) est une solution de l’équation homogène associée \( y'(x) = a(x)y(x) \).
Plus précisément, toute solution de 6.2.12 s’écrit de façon unique comme somme de \( f_0 \) et d’une solution de l’équation homogène, et toute fonction de cette forme est solution de 6.2.12.
Tout problème de Cauchy associé à l’équation 6.2.12 admet une unique solution définie sur \( I \).
On va démontrer l’existence d’une solution de l’équation 6.2.12, par construction.
On s’inspire de la forme de la solution de l’équation homogène donnée dans 6.2.10 de la forme
\[ x\mapsto C e^{A(x)} \]avec \(A\) une primitive de \(a\).
On cherche une solution de 6.2.12 en faisant varier la constante \( C \).
Soit \( C : I \to \mathbb {R} \) une fonction dérivable.
On considère la fonction
\[ f : x \mapsto C(x)e^{A(x)} \]définie sur \( I \).
Alors \( f \) est solution de 6.2.12 si et seulement si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) = a(x)f(x) + b(x) \), c’est-à-dire si et seulement si
\[ C'(x) + a(x)C(x)e^{A(x)} = a(x)C(x)e^{A(x)} + b(x), \]pour tout \( x \in I \), ce qui est équivalent à
\[ C'(x) = b(x)e^{-A(x)}, \]pour tout \( x \in I \). Or, la fonction \( x \mapsto b(x)e^{-A(x)} \) est continue, donc elle admet des primitives par l’énoncé indispensable 5.8.12.
Si on fixe donc \( C \) comme une telle primitive, alors le calcul précédent assure que la fonction
\[ f_0 : x \mapsto C(x)e^{A(x)} \]est solution de 6.2.12.
Si \( f_0 \) est une solution fixée de l’équation 6.2.12 et \( f \) est une solution quelconque de 6.2.12.
Alors le 6.2.8 nous dit que leur différence \( f - f_0 \) est une solution de l’équation homogène, que l’on va noter \( h \). On en déduit que \( f = f_0 + h \).
Réciproquement, si \( f_0 \) est solution de 6.2.4 et \( h \) est solution de l’équation homogène, alors la proposition 6.2.9 nous dit que leur somme est solution de 6.2.4. La décomposition ainsi obtenue est unique.
Cette propriété permet de décomposer la solution générale de l’équation linéaire avec second membre (non-homogène) en une somme entre la solution générale de l’équation homogène et une solution particulière de l’équation non-homogène.
Soit \( f \) une solution de 6.2.4. Par le second point, \( f \) s’écrit (de façon unique) sous la forme \( f = f_0 + h \), avec \( f_0 : x \mapsto C(x)e^{A(x)} \) construite au premier point et \( h \) solution de la partie homogène. Alors \( f(x_0) = y_0 \) si et seulement si \( h(x_0) = y_0 - f_0(x_0) \). Donc l’existence et l’unicité d’une solution au problème de Cauchy se ramène immédiatement à un problème de Cauchy homogène, pour lequel l’existence et l’unicité a été démontrée à la proposition 6.2.10.
Voici un résumé:
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Équation Différentielles |
Solution Type |
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\( y'(t) = a y(t) + b \) \( a, b \in \mathbb {R} \) |
\( y(t) = C e^{a t} - \frac{b}{a} \) |
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\( y'(t) = a(t) y(t) \) |
\( y(t) = C e^{A(t)} \) avec \(A(t) = \int a(t) \, dt\) |
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\( y'(t) = a(t) y(t) + b(t) \) |
\( y(t) = C e^{A(t)} + f_0 \) où \(A(t) = \int a(t) \, dt\) et \(f_0\) est une solution particulière |