1.6 Équation d’un cercle
Définition
1.6.1
Soit \(A\) un point du plan cartésien \(\mathbb {R}^2\). Le cercle \(C(A,r)\) de centre \(A\) et de rayon \(r{\gt}0\) est l’ensemble des points \(P\) du plan à une distance \(r\) de \(A\)
Le point \(P\) appartient à \(C(A,r)\) si et seulement si le vecteur \(\vec{AP}\) est de norme \(1\). Posons \(A=(a,b)\) et \(P=(x,y)\). Alors
\[ \vec{AP}=\begin{pmatrix} x-a
\\ y-b
\end{pmatrix}=(x-a)\vec{i}+ (y-b)\vec{j} \]
Donc
\[ ||\vec{AP}||= \sqrt{(x-a)^2+ (y-b)^2} \]
Finalement
\[ C(A,r)=\{ P=(x,y)\in \mathbb {R}^2: ||\vec{AP}||=r \} \]
Mais
\[ ||\vec{AP}||=r \Leftrightarrow ||\vec{AP}||^2=r^2 \Leftrightarrow (x-a)^2+ (y-b)^2=r^2 \]