LU1MA001

9.3 QCM: Fonctions

Exercice 9.3.1

Le domaine de définition de \(g(x)=\sqrt{x^2-2\, x-5}\)

  1. \(\mathbb {R}^+\)

  2. \(]1-\sqrt{6}, 1+ \sqrt{6}[\)

  3. \([1-\sqrt{6}, 1+ \sqrt{6}]\)

  4. \(]-\infty ,1-\sqrt{6}]\cap [ 1+ \sqrt{6}, +\infty [\)

  5. \(]-\infty ,1-\sqrt{6}]\cup [ 1+ \sqrt{6}, +\infty [\)

Exercice 9.3.2

La dérivée de \(x \mapsto \sqrt{1+x^2 \sin ^2 x}\)

  1. \(\frac{\sin (x) + x.\cos (x)}{\sqrt{1+x^2 \sin ^2 x}}\)

  2. \(\frac{\sin (x) (\sin (x) + x \cos (x)}{\sqrt{1+x^2 \cos x}}\)

  3. \(\frac{x \sin (x) (\sin (x) + x \cos (x)}{\sqrt{1+x^2 \sin x^2}}\)

  4. \(\frac{x \sin (x) (\sin (x) + x \cos (x)}{\sqrt{1+x \sin ^2 x}}\)

  5. \(\frac{x \sin (x) (\sin (x) + x \cos (x)}{\sqrt{1+x^2 \sin ^2 x}}\)

Exercice 9.3.3

La dérivée de \(x \mapsto \frac{3x^2+2x}{x^3-x}.\)

  1. \(\frac{6x^2+2}{3x^2-1}.\)

  2. \(\frac{6x+2}{3x^2-1}.\)

  3. \(\frac{6x+2}{x(x^2-x)} + \frac{x(3x+2)(3x^2-1)}{x^2(x^2-1)^2}\)

Exercice 9.3.4

La dérivée de \(x \mapsto \frac{\exp (1/x)+1}{\exp (1/x)-1}.\)

  1. \(0\)

  2. \(\sqrt[x]{e}\).

  3. \(\frac{2e^{\frac{1}{x}}}{(\sqrt[x]{e}-1).x^2}\)

  4. \(\frac{2e^{\frac{1}{x}}}{(\sqrt[x]{e}-1)^2.x}\)

  5. \(\frac{-2e^{\frac{1}{x}}}{(\sqrt[x]{e}+1)^2.x^2}\)

  6. \(\frac{2\sqrt[x]{e}}{(\sqrt[x]{e}-1)^2.x^2}\)

Exercice 9.3.5

La dérivée de \(x \mapsto \log (\frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)})\)

  1. \(\frac{\cos (x)}{\sin (x)+1}\)

  2. \(-\frac{\cos (x)}{\sin (x)+1}\)

  3. \(-\frac{2\cos (x)}{\sin ^2(x)+1}\)

  4. \(-\frac{2\cos (x)}{\sin ^2(x)-1}\)

Exercice 9.3.6

La dérivée de \(x\rightarrow (1+x^2).\arctan (x)\).

  1. \(\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\)

  2. \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}\)

  3. \(1+2x\arctan (x)\)

Exercice 9.3.7

\(\log _{10}(\frac{1}{10^n})=\)

  1. \(0\)

  2. \(1\).

  3. \(n\)

  4. \(-n\)

  5. \(-10n\)

Exercice 9.3.8

La fonction \(x\rightarrow \cos |x| \) est-elle dérivable en \(0 \) ?

  1. Oui.

  2. Non.

Exercice 9.3.9

\(\lim \limits _{x\rightarrow 0}\frac{x}{2+\sin \frac{1}{x}}\)

  1. \(0\)

  2. \(1\).

  3. \(\pi \)

  4. \(\frac{1}{2}\)

  5. \(+\infty \)

Exercice 9.3.10

\(\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }x^3.e^{-x}\)=

  1. \(0\)

  2. \(1\).

  3. \(+\infty \)

  4. \(-\infty \)

Exercice 9.3.11

Soit \(f\) une fonction strictement croissante définie sur \(\mathbb {R}\), dérivable, avec \(f'(0)=0\). Alors \(x=0\) est:

  1. Maximum.

  2. Minimum

  3. Nous ne pouvons rien dire.

Exercice 9.3.12

Le produit \(f.g\) de deux fonctions \(f\) et \(g\) discontinues, est discontinue.

  1. Vrai.

  2. Faux.

Exercice 9.3.13

L’équation \(x^7-3\, x^2+4\, x-1=0\) admet au moins une solution dans l’intervalle \(]-1,1[\).

  1. Vrai

  2. Faux.