LU1MA001

7.2 Exemples de DLs et Propriétés

Exemple 7.2.1

Soit \( f(x) = P(x) \) un polynôme

\[ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \]

Alors \( f \) admet un DL d’ordre \( n \) donné par \( P \) lui-même :

En effet,

\[ \lim _{x \to a} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^n} = 0 \quad \checkmark \]

Donc,

\[ \text{DL d'un polynôme} = \text{lui-même.} \]
Énoncé indispensable 7.2.2

Les exemples suivants résultent directement de la formule de Taylor-Young 7.3.2.

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \]
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \]
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \]
\[ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n) \]
\[ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n) \]
\[ \log (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) \]
\[ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \dots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n + o(x^n) \]

Le résultat suivant permet de réduire la construction de DL en un point \( a \) à celle d’un DL en \( 0 \):

Proposition 7.2.3

\( f \) admet un DL d’ordre \( n \) en \( x=a \) si et seulement si la fonction définie par le changement de variables \(h=x-a\)

\[ g(h) := f(h+a) \]

admet un DL d’ordre \( n \) en \( h = 0 \).

Énoncé indispensable 7.2.4

Soient \(f\) et \(g\) des fonctions. Alors:

  1. Le développement limité (DL\(_n\)), s’il existe, est unique: Si \( P_n(x) \) et \( Q_n(x) \) sont des DLs de \( f \) à l’ordre \( n \) en \(x=0\), alors :

    \[ P_n(x) = Q_n(x) \]

  2. Si \( f \) et \( g \) admettent des DLs à l’ordre \( n \), alors :

    \[ DL_n(f + g) = DL_n(f) + DL_n(g) \]

  3. Si \( f \) et \( g \) admettent des DLs à l’ordre \( n \), alors :

    \[ DL_n(f \cdot g) = \text{termes de degré } \leq n \text{ dans le produit } DL_n(f) \cdot DL_n(g) \]

  4. Supposons \( g(0) = 0 \).

    Alors :

    \[ DL_n(f \circ g) = \text{termes de degré } \leq n \text{ dans } DL_n(f) \circ DL_n(g) \]
Preuve ▼

On démontre (1). Soient \( P_n(x) \) et \( Q_n(x) \) deux développements limités de \( f \) à l’ordre \( n \) en 0. Par définition du DL, on a :

\[ \lim _{x \to 0} \frac{f(x) - P_n(x)}{x^n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim _{x \to 0} \frac{f(x) - Q_n(x)}{x^n} = 0 \]

Alors,

\[ 0 = \lim _{x \to 0} \left( \frac{f(x) - P_n(x)}{x^n} - \frac{f(x) - Q_n(x)}{x^n} \right) \]
\[ = \lim _{x \to 0} \frac{f(x) - P_n(x) - f(x) + Q_n(x)}{x^n} \]
\[ = \lim _{x \to 0} \frac{Q_n(x) - P_n(x)}{x^n} \]

Mais \( Q_n(x) - P_n(x) \) est un polynôme de degré au plus \( n \). La limite ci-dessus est nulle si et seulement si ce polynôme est nul.

\[ \Rightarrow Q_n(x) = P_n(x) \]

Conclusion : le DL\(_n\) de \( f \) est unique s’il existe.