LU1MA001: Limites et Continuité

5.2 Limites et Continuité

Nous allons étudier la continuité des fonctions. Cela exprime l’idée que l’on peut parcourir le graphe sans jamais lever le stylo.

L’outil de base est la notion de limite, que nous définirons ici de manière informelle.

Définition 5.2.1

Une fonction $f(x)$:

admet une limite finie $L$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ par la gauche, ie, $x{\lt}a$, si $f(x)$ prend une valeur d’autant plus proche de $L$ que x est proche de $a$. On écrit

\[ \lim _{x\to a^-}\, f(x)=L \]
admet une limite finie $L$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ par la droite, ie, $x{\gt}a$, si $f(x)$ prend une valeur d’autant plus proche de $L$ que $x$ est proche de $a$. On écrit

\[ \lim _{x\to a^+}\, f(x)=L \]
admet une limite finie $L$ en $a$ lorsque les deux limites, à gauche et à droite, existent et coïncident, ie,

\[ \lim _{x\to a^-}\, f(x)=L=\lim _{x\to a^+}\, f(x) \]

Exemple 5.2.2

Exemple où il n’y a pas de limite à gauche ni à droite.

Exemple 5.2.3

Exemple où il y a une limite à gauche mais pas de limite à droite.

Exemple 5.2.4

Exemple où il y a une limite à gauche et une limite à droite, mais elles ne coïncident pas.

Proposition 5.2.5

(Propriétés des limites: somme et produits) Soient $f$ et $g$ fonctions réels définies sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $c\in ]a,b[$ et supposons que les limites $\lim _{x\to c} f(x)$ et $\lim _{x\to c}g(x)$ existent, avec

\[ \lim _{x\to c}f(x)=\ell ,\hspace{1cm} \lim _{x\to c}g(x)=\kappa \]

Alors:

\[ \lim _{x\to c}\left(f(x).g(x)\right)=\ell .\kappa \]
\[ \lim _{x\to c}\left(f(x)+g(x)\right) = \ell +\kappa \]

$\includegraphics[scale=0.7]{images/geogebra}$
Si $f(x)\leq g(x)$ au voisinage de $c$ alors $\ell \leq \kappa $.

Application 5.2.6

(Théorème des gendarmes) Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ et soit $a$ un point de $I$. Supposons que

\[ \forall x\in I, f(x)\leq g(x)\leq h(x) \]

et qu’il existe un réel $\ell $ tel que

\[ \lim _{x\to a}f(x)= \lim _{x\to a} h(x)=\ell \]

Alors

\[ \lim _{x\to a} g(x) = \ell \]

Exemple 5.2.7

On montre que $\lim _{x\to 0} \, x.\sin (x)=0$. On sait que

\[ -1\leq \sin (x)\leq 1 \]

Donc, si on multiplie par $x$ on obtient

\[ -|x|\leq x.\sin (x)\leq |x| \]

Comme $\lim _{x\to 0}|x|=\lim _{x\to 0}(-|x|)=0$, on a que $\lim _{x\to 0} \, x.\sin (x)=0$

Définition 5.2.8

Soient $f :I\to \mathbb {R}$ et $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si la limite $\lim _{x\to a} f(x)$ existe et est égale à $f(a)$.

Exemple 5.2.9

Limites et continuité.

Exemple 5.2.10

Limites et continuité.

Énoncé indispensable 5.2.11

La somme de fonctions continues est continue;
Le produit de fonctions continues est continue;
La composition de fonctions continues et continue

Preuve ▼

Pour les deux premiers résultats, cela découle du 5.2.5 et de la définition de continuité 5.2.8. La démonstration du dernier utilise des outils du cours de Mathématiques approfondies du deuxième semestre, que nous ne verrons pas ici. En tout cas, nous donnerons dans 5.4.11 une démonstration dans le cas particulier où $f$ et $g$ sont dérivables.