1.2 Norme, Produit scalaire et angles
Par le théorème de Pythagore la longuer d’un vector \(\vec{v}=v_x\vec{i}+ v_y.\vec{j}\) dans le plan est
et pour tout \(\vec{v}=v_x. \vec{i} + v_y. \vec{j}+ v_z.\vec{k}\) dans l’espace est
(Angle entre deux vecteurs)
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs (dans le plan ou dans l’espace). L’angle \(\gamma \) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est l’angle
\(\text{Angle}(\vec{v}, \vec{u})=- \text{Angle}(\vec{u}, \vec{v})\)
Sinus, Cosinus
|
Angle |
\(\sin (\theta )\) |
\(\cos (\theta )\) |
|
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
|
\(\frac{\pi }{6}\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
|
\(\frac{\pi }{4}\) |
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
|
\(\frac{\pi }{3}\) |
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{1}{2}\) |
|
\(\frac{\pi }{2}\) |
\(1\) |
\(0\) |
|
\(\pi \) |
\(0\) |
\(-1\) |
Théorème de Pythagores:
Composant d’un vecteur \(\vec{v}\) le long d’un vecteur \(\vec{u}\):
Donc
Donc, le vecteur projection est donnée par la formule
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) est le nombre
Propriétés du produit scalaire:
\(\vec{u}\bullet \vec{v}=\vec{v}\bullet \vec{u}\). C’est vrai à cause de l’égalité \(\cos (\alpha )=\cos (-\alpha )\).
\(\vec{u}\bullet \vec{u}=||\vec{u}||^2\)
\((\lambda \vec{u})\bullet \vec{v}=\lambda \, \, \, (\vec{u}\bullet \vec{v})\)
On dit qu’un vecteur \(\vec{v}\) est perpendicular à un vecteur \(\vec{w}\) si l’angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) est \(\frac{\pi }{2}\) rad (= \(90^\circ \)). On écrit \(\vec{v}\perp \vec{u}\)
\(\vec{v}\bullet \vec{u}=0\) si et seulement si \(\vec{v}\perp \vec{u}\)
On utilise la formule \( \vec{u}\bullet \vec{v}=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos (\alpha ) \):
Si un des vecteurs est nul, c’est évident.
Supposons que les deux vecteurs sont non nuls.
Alors leur longuer est aussi non nulle.Donc, le membre de gauche s’anulle précisement si \(\cos (\alpha )=0\).
D’après le Rappel 1.2.5, s’arrive si et seulement si \(\alpha = \frac{\pi }{2}\) ou \(\frac{3\pi }{2}\).
Dans les deux cas, les vecteurs sont orthogonaux.
On dit qu’une collection de deux vecteurs du plan \(\vec{v}, \vec{u}\) est une base orthonormée si les deux vecteurs forment une base (voir Définition 1.1.22) et on a \(||\vec{v}||=||\vec{u}||=1\) et \(\vec{u}\bullet \vec{v}=0\).
Comment calculer \(||\vec{v}-\vec{u}||\)?
Théorème de Pythagore généralisé:
Si \(\alpha =90^\circ \), on récupère de Théorème de Pythagore.
Pour calculer \(||\vec{v}-\vec{u}||\) on applique le théorème de Pythagore généralisé:
On retrouve
En particulièr, on retrouve une nouvelle formule pour le produit scalaire:
(Formule alternative pour le produit scalaire) Soient
deux vecteurs. Alors
On utilise la formule 1.2.16:
avec la deuxième propriété dans 1.2.8:
\(||\vec{v}||^2=v_x^2 + v_y^2\)
\(||\vec{u}||^2=u_x^2 + u_y^2\)
\(||\vec{v}-\vec{u}||^2=(v_x-u_x)^2+ (v_y-u_y) ^2= v_x^2-2v_xu_x+ u_x^2 + v_y^2-2.v_y.u_y + u_y^2\)
Donc
Montrer que
Considerons les vecteurs du plan
Alors:
\(\vec{u}\bullet \vec{v}=(-1).6+2.2=-6+4=-2\)
\(\vec{u}\bullet \vec{w}=(-1).3+2.4=-3+8=5\)
\(\vec{v}+\vec{w}=(6+3,2+4)=(9,6)\). Alors
\[ \vec{u}\bullet (\vec{v}+\vec{w})=(-1).9 + 2.6=-9+12=3=5-2 \]
La formule marche aussi dans l’espace: si
alors
Soit \(\vec{v}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) un vecteur do plan. Alors le vecteur \(N_{\vec{v}}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est orthogonal à \(\vec{v}\)
Il suffit de voir que le produit scalaire \(\vec{v}\bullet N_{\vec{v}}\) s’annulle: