5.8 Intégration
On dit qu’une fonction \( f \) admet une primitive s’il existe une fonction \( F \) telle que
\( f(x) = x \) admet une primitive \( F(x) = \frac{x^2}{2} \)
En effet :\[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{2} \right)' = x \]\( f(x) = 1 \) admet une primitive \( F(x) = x \)
\( f(x) = e^x \) admet comme primitive \( F(x) = e^x \)
\( f(x) = \sin (x) \) admet une primitive \( F(x) = -\cos (x) \)
Si \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( F(x) = \ln (|x|) \) est une primitive.
Primitive de \( f(x) = x \ln (x) \) :
\[ F(x) = x \ln (x) - x \]En effet :
\[ F'(x) = \left( x \ln (x) - x \right)' = \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x) \]Primitive de \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) :
\[ F(x) = \arctan (x) \]
Si \( F(x) \) est une primitive de \( f(x) \), alors
En effet :
Donc, le choix de la primitive n’est pas unique.
Soit \(f\) une fonction et \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\). Alors \(F-G\) est une constante.
Si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\), alors \((F-G)'=F'-G'=f-f=0\), donc \(F-G\) est une primitive de la fonction nulle. Cependant, les seules primitives de la fonction nulle sont des constantes. En effet, si \(H'=0\) alors par 5.5.6-(5), \(H\) est une fonction constante.
Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) une fonction continue. On appelle l’intégrale de \( f \) entre \( a \) et \( b \) :
![\includegraphics[scale=0.4]{images/defIntegral}](images/img-0022.png)
On dit que \(f\) est intégrable sur \([a,b]\) si \(\int _a^b f(x)\, dx {\lt}+\infty \).
(Propriétés de l’intégrale)
Pour \(a\leq c\leq b\)
\[ \int _a^b f(x).dx= \int _{a}^c f(x)dx + \int _c^b f(x) dx \]- \[ \int _a^b (f(x)+g(x)).dx= \int _{a}^b f(x)dx + \int _a^b g(x) dx \]
Si \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in [a,b]\),
\[ \int _{a}^b f(x)dx\geq 0 \]Si \(f(x)\leq g(x)\) pour tout \(x\in [a,b]\),
\[ \int _a^bf(x)dx \leq \int _a^b g(x)dx \]
(sans démonstration ici) Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) continue. Alors \( f \) est intégrable sur \( [a,b] \), ie,
En particulier, si \( f \) est continue, l’intégrale est finie.
Comment calculer l’intégral?
(Méthode de subdivision) Soit \(f\) une fonction continue et intégrable sur \([0,x]\). Alors
Soit \(f\) une fonction continue. Alors, la fonction
est une primitive de \(f\).
Il faut montrer que
On utilise la subdivision du 5.8.11. En effet, par définition de la dérivée 5.4.3, on a
Soit \(f\) une fonction continue en \([a,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\). Alors
Grâce au 5.8.4, toutes les primitives \(F\) diffèrent par une constante et grâce au 5.8.12 on peut supposer \(F(x):= \int _0^x f(t)dt\). Donc, l’énoncé est équivalent à la formule
Cela découle des propriétés de l’intégrale, notamment de la formule 5.8.9
Soit \(F\) une fonction définie sur \([a,b]\). On note
![\includegraphics[scale=0.4]{images/integralexample1}](images/img-0023.png)
On sait que \((e^x)'=e^x\) donc la fonction \(F(x)=e^x\) est une primitive de \(f(x)=e^x\). Par 5.8.13,