LU1MA001

5.8 Intégration

Définition 5.8.1

On dit qu’une fonction \( f \) admet une primitive s’il existe une fonction \( F \) telle que

\[ F'(x) = f(x) \]
Exemple 5.8.2
  1. \( f(x) = x \) admet une primitive \( F(x) = \frac{x^2}{2} \)
    En effet :

    \[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{2} \right)' = x \]
  2. \( f(x) = 1 \) admet une primitive \( F(x) = x \)

  3. \( f(x) = e^x \) admet comme primitive \( F(x) = e^x \)

  4. \( f(x) = \sin (x) \) admet une primitive \( F(x) = -\cos (x) \)

  5. Si \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( F(x) = \ln (|x|) \) est une primitive.

  6. Primitive de \( f(x) = x \ln (x) \) :

    \[ F(x) = x \ln (x) - x \]

    En effet :

    \[ F'(x) = \left( x \ln (x) - x \right)' = \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x) \]
  7. Primitive de \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) :

    \[ F(x) = \arctan (x) \]
Remarque 5.8.3

Si \( F(x) \) est une primitive de \( f(x) \), alors

\[ F(x) + c \text{ est aussi} \]

En effet :

\[ (F(x) + c)' = F'(x) + 0 = f(x) \]

Donc, le choix de la primitive n’est pas unique.

Proposition 5.8.4

Soit \(f\) une fonction et \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\). Alors \(F-G\) est une constante.

Preuve

Si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\), alors \((F-G)'=F'-G'=f-f=0\), donc \(F-G\) est une primitive de la fonction nulle. Cependant, les seules primitives de la fonction nulle sont des constantes. En effet, si \(H'=0\) alors par 5.5.6-(5), \(H\) est une fonction constante.

Définition 5.8.5

Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) une fonction continue. On appelle l’intégrale de \( f \) entre \( a \) et \( b \) :

\includegraphics[scale=0.4]{images/defIntegral}
\[ \int _a^b f(x)\, dx = \textcolor{blue}{ \text{Aire positive} }- \textcolor{orange}{\text{Aire négative}} \]

On dit que \(f\) est intégrable sur \([a,b]\) si \(\int _a^b f(x)\, dx {\lt}+\infty \).

Exemple 5.8.6
\[ \int _0^1x.dx=\frac{1}{2} \]
Exemple 5.8.7
\[ \int _{-1}^1\frac{1}{x}.dx=? \]
Exemple 5.8.8
\[ \int _{0}^{2\pi } \sin (x)dx=0 \]
Énoncé indispensable 5.8.9

(Propriétés de l’intégrale) 

  1. Pour \(a\leq c\leq b\)

    \[ \int _a^b f(x).dx= \int _{a}^c f(x)dx + \int _c^b f(x) dx \]
  2. \[ \int _a^b (f(x)+g(x)).dx= \int _{a}^b f(x)dx + \int _a^b g(x) dx \]
  3. Si \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in [a,b]\),

    \[ \int _{a}^b f(x)dx\geq 0 \]
  4. Si \(f(x)\leq g(x)\) pour tout \(x\in [a,b]\),

    \[ \int _a^bf(x)dx \leq \int _a^b g(x)dx \]
Theorem 5.8.10

(sans démonstration ici) Soit \( f : [a,b] \to \mathbb {R} \) continue. Alors \( f \) est intégrable sur \( [a,b] \), ie,

\[ \int _a^b |f(x)| \, dx {\lt} \infty \]

En particulier, si \( f \) est continue, l’intégrale est finie.

Comment calculer l’intégral?

Theorem 5.8.11

(Méthode de subdivision) Soit \(f\) une fonction continue et intégrable sur \([0,x]\). Alors

\[ \int _0^x f(t)dt= \lim _{n\to +\infty } \left(\sum _{i=0}^{n-1}f(\frac{i}{n}x).\frac{1}{n}x\right) \]
Énoncé indispensable 5.8.12

Soit \(f\) une fonction continue. Alors, la fonction

\[ F(x):= \int _0^x f(t)dt \]

est une primitive de \(f\).

Preuve

Il faut montrer que

\[ F'(x)=f(x) \]

On utilise la subdivision du 5.8.11. En effet, par définition de la dérivée 5.4.3, on a

\begin{eqnarray*} \lim _{h \to 0} \frac{\int _0^{x+h} f(t) \, dt - \int _0^x f(t) \, dt}{h} = \lim _{h \to 0} \frac{\int _0^x f(t) \, dt + \int _x^{x+h} f(t) \, dt - \int _0^x f(t) \, dt}{h} = \lim _{h \to 0} \frac{\int _x^{x+h} f(t) \, dt}{h}\\ = \lim _{h \to 0} \lim _{n\to +\infty }\frac{1}{h} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{h}{n} = \lim _{h \to 0}\lim _{n\to +\infty } \frac{1}{h} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{h}{n}\\ =\lim _{n\to +\infty } \lim _{h \to 0} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{1}{n}\\ = \lim _{n \to \infty } \sum _{i=0}^n f(x) \cdot \frac{1}{n} =\lim _{n \to \infty } f(x) \frac{n}{n}= \lim _{n \to \infty } f(x)=f(x) \end{eqnarray*}
Énoncé indispensable 5.8.13

Soit \(f\) une fonction continue en \([a,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\). Alors

\[ \int _{a}^b f(x)dx= F(b)-F(a) \]
Preuve

Grâce au 5.8.4, toutes les primitives \(F\) diffèrent par une constante et grâce au 5.8.12 on peut supposer \(F(x):= \int _0^x f(t)dt\). Donc, l’énoncé est équivalent à la formule

\[ \int _{a}^b f(x)dx= \int _0^b f(t)dt - \int _0^a f(t)dt \]

Cela découle des propriétés de l’intégrale, notamment de la formule 5.8.9

\[ \int _0^a f(t)dt+ \int _{a}^b f(x)dx= \int _0^b f(t)dt \]
Notation 5.8.14

Soit \(F\) une fonction définie sur \([a,b]\). On note

\[ [F]_a^b:= F(b)-F(a) \]
Exemple 5.8.15
\[ \int _0^1 e^x dx=? \]
\includegraphics[scale=0.4]{images/integralexample1}

On sait que \((e^x)'=e^x\) donc la fonction \(F(x)=e^x\) est une primitive de \(f(x)=e^x\). Par 5.8.13,

\[ \int _0^1 e^x dx=F(1)-F(0)= e^1-e^0=e-1 \]
Exemple 5.8.16
\[ \int _{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx=? \]
\includegraphics[scale=0.4]{images/integralex2}

Par 5.8.2 on sait que \(F(x)=\ln (|x|)\) est une primitive de \(f(x)=\frac{1}{x}\). Par 5.8.13,

\[ \int _{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx=F(-1)-F(-2)= \ln (|-1|)- \ln (|-2|)= \ln (1)-\ln (2)=0-\ln (2)=-\ln (2) \]