LU1MA001: Intégration

5.8 Intégration

Définition 5.8.1

On dit qu’une fonction $ f $ admet une primitive s’il existe une fonction $ F $ telle que

\[ F'(x) = f(x) \]

Exemple 5.8.2

$ f(x) = x $ admet une primitive $ F(x) = \frac{x^2}{2} $
En effet :

\[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{2} \right)' = x \]
$ f(x) = 1 $ admet une primitive $ F(x) = x $
$ f(x) = e^x $ admet comme primitive $ F(x) = e^x $
$ f(x) = \sin (x) $ admet une primitive $ F(x) = -\cos (x) $
Si $ f(x) = \frac{1}{x} $, $ F(x) = \ln (|x|) $ est une primitive.
Primitive de $ f(x) = x \ln (x) $ :

\[ F(x) = x \ln (x) - x \]

En effet :

\[ F'(x) = \left( x \ln (x) - x \right)' = \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x) \]
Primitive de $ f(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ :

\[ F(x) = \arctan (x) \]

Remarque 5.8.3

Si $ F(x) $ est une primitive de $ f(x) $, alors

\[ F(x) + c \text{ est aussi} \]

En effet :

\[ (F(x) + c)' = F'(x) + 0 = f(x) \]

Donc, le choix de la primitive n’est pas unique.

Proposition 5.8.4

Soit $f$ une fonction et $F$ et $G$ deux primitives de $f$. Alors $F-G$ est une constante.

Preuve ▼

Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$, alors $(F-G)'=F'-G'=f-f=0$, donc $F-G$ est une primitive de la fonction nulle. Cependant, les seules primitives de la fonction nulle sont des constantes. En effet, si $H'=0$ alors par 5.5.6-(5), $H$ est une fonction constante.

Définition 5.8.5

Soit $ f : [a,b] \to \mathbb {R} $ une fonction continue. On appelle l’intégrale de $ f $ entre $ a $ et $ b $ :

$\includegraphics[scale=0.4]{images/defIntegral}$

\[ \int _a^b f(x)\, dx = \textcolor{blue}{ \text{Aire positive} }- \textcolor{orange}{\text{Aire négative}} \]

On dit que $f$ est intégrable sur $[a,b]$ si $\int _a^b f(x)\, dx {\lt}+\infty $.

Exemple 5.8.6

\[ \int _0^1x.dx=\frac{1}{2} \]

Exemple 5.8.7

\[ \int _{-1}^1\frac{1}{x}.dx=? \]

Exemple 5.8.8

\[ \int _{0}^{2\pi } \sin (x)dx=0 \]

Énoncé indispensable 5.8.9

(Propriétés de l’intégrale)

Pour $a\leq c\leq b$

\[ \int _a^b f(x).dx= \int _{a}^c f(x)dx + \int _c^b f(x) dx \]
\[ \int _a^b (f(x)+g(x)).dx= \int _{a}^b f(x)dx + \int _a^b g(x) dx \]
Si $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in [a,b]$,

\[ \int _{a}^b f(x)dx\geq 0 \]
Si $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in [a,b]$,

\[ \int _a^bf(x)dx \leq \int _a^b g(x)dx \]

Theorem 5.8.10

(sans démonstration ici) Soit $ f : [a,b] \to \mathbb {R} $ continue. Alors $ f $ est intégrable sur $ [a,b] $, ie,

\[ \int _a^b |f(x)| \, dx {\lt} \infty \]

En particulier, si $ f $ est continue, l’intégrale est finie.

Comment calculer l’intégral?

Theorem 5.8.11

(Méthode de subdivision) Soit $f$ une fonction continue et intégrable sur $[0,x]$. Alors

\[ \int _0^x f(t)dt= \lim _{n\to +\infty } \left(\sum _{i=0}^{n-1}f(\frac{i}{n}x).\frac{1}{n}x\right) \]

Énoncé indispensable 5.8.12

Soit $f$ une fonction continue. Alors, la fonction

\[ F(x):= \int _0^x f(t)dt \]

est une primitive de $f$.

Preuve ▼

Il faut montrer que

\[ F'(x)=f(x) \]

On utilise la subdivision du 5.8.11. En effet, par définition de la dérivée 5.4.3, on a

\begin{eqnarray*} \lim _{h \to 0} \frac{\int _0^{x+h} f(t) \, dt - \int _0^x f(t) \, dt}{h} = \lim _{h \to 0} \frac{\int _0^x f(t) \, dt + \int _x^{x+h} f(t) \, dt - \int _0^x f(t) \, dt}{h} = \lim _{h \to 0} \frac{\int _x^{x+h} f(t) \, dt}{h}\\ = \lim _{h \to 0} \lim _{n\to +\infty }\frac{1}{h} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{h}{n} = \lim _{h \to 0}\lim _{n\to +\infty } \frac{1}{h} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{h}{n}\\ =\lim _{n\to +\infty } \lim _{h \to 0} \sum _{i=0}^n f \left( x + i \frac{h}{n} \right) \frac{1}{n}\\ = \lim _{n \to \infty } \sum _{i=0}^n f(x) \cdot \frac{1}{n} =\lim _{n \to \infty } f(x) \frac{n}{n}= \lim _{n \to \infty } f(x)=f(x) \end{eqnarray*}

Énoncé indispensable 5.8.13

Soit $f$ une fonction continue en $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$. Alors

\[ \int _{a}^b f(x)dx= F(b)-F(a) \]

Preuve ▼

Grâce au 5.8.4, toutes les primitives $F$ diffèrent par une constante et grâce au 5.8.12 on peut supposer $F(x):= \int _0^x f(t)dt$. Donc, l’énoncé est équivalent à la formule

\[ \int _{a}^b f(x)dx= \int _0^b f(t)dt - \int _0^a f(t)dt \]

Cela découle des propriétés de l’intégrale, notamment de la formule 5.8.9

\[ \int _0^a f(t)dt+ \int _{a}^b f(x)dx= \int _0^b f(t)dt \]

Notation 5.8.14

Soit $F$ une fonction définie sur $[a,b]$. On note

\[ [F]_a^b:= F(b)-F(a) \]

Exemple 5.8.15

\[ \int _0^1 e^x dx=? \]

$\includegraphics[scale=0.4]{images/integralexample1}$

On sait que $(e^x)'=e^x$ donc la fonction $F(x)=e^x$ est une primitive de $f(x)=e^x$. Par 5.8.13,

\[ \int _0^1 e^x dx=F(1)-F(0)= e^1-e^0=e-1 \]

Exemple 5.8.16

\[ \int _{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx=? \]

$\includegraphics[scale=0.4]{images/integralex2}$

Par 5.8.2 on sait que $F(x)=\ln (|x|)$ est une primitive de $f(x)=\frac{1}{x}$. Par 5.8.13,

\[ \int _{-2}^{-1} \frac{1}{x} dx=F(-1)-F(-2)= \ln (|-1|)- \ln (|-2|)= \ln (1)-\ln (2)=0-\ln (2)=-\ln (2) \]