LU1MA001

1.4 Équations des droites

Définition 1.4.1

(Équation Cartésienne d’une droite dans le plan) La droite \(D\) du plan, passant par le point \(A=(x_0,y_0)\) et orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix}\) est l’ensemble de points \(P=(x,y)\) tels que le vecteur \(\vec{AP}\) est orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\), ie

\[ \vec{AP}\bullet \vec{n}=n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0 \]
Définition 1.4.2

La droite \(D\) du plan, passant par le point \(A=(x_0,y_0)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{v}=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\) est la droite passant par \(A\) et orthogonal au vector normal \(N_{\vec{v}}=\begin{pmatrix} -t \\ s \end{pmatrix}\) (voir le Corollaire 1.2.21)

\[ \vec{AP}\bullet N_{\vec{v}}=-t(x-x_0)+s(y-y_0)=0 \]
Remarque 1.4.3

Si \(s\neq 0\), la définition 1.4.1 permet de récupérer l’équation des droites vue au lycée

avec

\[ a=\frac{-t}{s}\hspace{1cm} b=\frac{-t.x_0}{s}+y_0 \]
Définition 1.4.4

(Équation paramétrique)L’ équation paramétrique d’une droite \(D\) dans le plan passant par le point \(A\) et dirigée par \(\vec{v}\)

\[ \{ P=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb {R}^2:P= A+ \lambda .\vec{v}, \lambda \in \mathbb {R}\} =\{ P=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}:\vec{AP}=\lambda \vec{v}\} \]

C’est l’ensemble des points \(P\) du plan tel que le vecteur \(\vec{AP}\) est colinéaire à \(\vec{v}\).

Exemple 1.4.5

Soit \(\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(A=(1,0)\). Sans faire des dessins, est-ce que le point \(P=(2,3)\) appartient à la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{v}\)?

Pour répondre, il suffit de voir si le point P vérifie l’équation cartesienne de la droite:

\[ s=1, t=2, x_0=1, y_0=0 \]

Donc,

\[ -1(x-1)+2.(y-0)=0 \Leftrightarrow -(x-1)+2y=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x- \frac{1}{2} \]
Exemple 1.4.6

Soit \(D\) la droite du plans donnée par l’équation paramétrique

\[ \{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb {R}^2:(x,y)= (1,0)+ \lambda .(2,1), \lambda \in \mathbb {R}\} \]

On peut trouver l’équation cartesienne, on regardent l’équation paramétrique en chaque coordonnée:

\[ x=1+2\lambda , \hspace{1cm} y=0+1.\lambda \]

d’où,

\[ \lambda =\frac{x-1}{2}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\hspace{1cm} \lambda =y \]

Donc

\[ \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=y \]