LU1MA001

5.7 Arctan

On construit ici la fonction \( \arctan \).

Proposition 5.7.1

La fonction \(\tan :]-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}[\to \mathbb {R}\) est strictement croissante.

Preuve

Grâce au 5.5.6 il suffit de montrer que la dérivée de \(\tan \) est strictement positive. En effet:

\[ \tan (x)'=\left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)'= \sin (x)'. (\frac{1}{\cos (x)}) + \sin (x).(\frac{1}{\cos (x)})' \]
\[ = \cos (x).\frac{1}{\cos (x)}+ \sin (x). [\frac{-1}{\cos ^2(x)}.(-\sin (x))]= \]
\[ =1+\tan ^2(x){\gt}0 \]
Corollaire 5.7.2

La fonction \(\tan :]-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}[\to \mathbb {R}\) est continue, strictement monotone et \(\tan '\neq 0\). Donc, grâce au 5.5.7 elle admet une fonction réciproque qu’on appelle \(\arctan : \mathbb {R}\to ]-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}[\), continue et dérivable avec

\[ \arctan (y)'=\frac{1}{\tan '(\arctan (y))}=\frac{1}{1+(1+\tan ^2(\arctan (y)))}=\frac{1}{1+y^2} \]