LU1MA001: Exponentielle et logarithme

5.6 Exponentielle et logarithme

Énoncé indispensable 5.6.1

(fonction exponentielle) Il existe une unique fonction

\[ f:\mathbb {R}\to \mathbb {R} \]

dérivable qui vérifie

\[ f'(x) = f(x) \ \forall x \in \mathbb {R},\hspace{1cm} \ f(0) = 1. \]

On note cette fonction $\exp $. Elle a les propriétés suivantes :

$\forall x \in \mathbb {R}, \ \exp (x) {\gt} 0$;
$\forall x \in \mathbb {R}, \ \forall y \in \mathbb {R}, \ \exp (x + y) = \exp (x)\exp (y)$;
$\forall x \in \mathbb {R}, \ \forall n \in \mathbb {Z}, \ (\exp (x))^n = \exp (nx)$;
$\forall x \in \mathbb {R}, \ \frac{1}{\exp (x)} = \exp (-x)$;
$\lim _{x \to +\infty } \exp (x) = +\infty \ \text{et} \ \lim _{x \to -\infty } \exp (x) = 0$.

On utilise souvent la notation $\exp (x) = e^x$.

Énoncé indispensable 5.6.2

(Exponentielle vs polynômes). Soit $ n {\gt} 0 $ un entier. On a

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac{\exp (x)}{x^n} = +\infty \]

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac{x^n}{\exp (x)} = 0. \]

Énoncé indispensable 5.6.3

(foction logarithme) Pour tout $ x $ strictement positif, il existe un unique réel $ y $ tel que $ e^y = x $. On le note $ \ln (x) $ (autrement dit, $ \exp (\ln (x)) = x $).

La fonction $ x \mapsto \ln (x) $ définie de $ \mathbb {R}_{{\gt}0} $ dans $ \mathbb {R} $, appelée logarithme népérien, a les propriétés suivantes :

elle est strictement croissante, continue et dérivable, de dérivée $ \ln '(x) = \frac{1}{x} $ ;
pour tout $ x {\gt} 0 $, $ \ln (x) = \int _1^x \frac{1}{t} \, dt $ ;
$ \ln (1) = 0 $, $ \ln (e) = 1 $ ;
$ \forall x {\gt} 0, \ \forall y {\gt} 0, \ \ln (xy) = \ln (x) + \ln (y) $ ;
$ \forall x {\gt} 0, \ \forall n \in \mathbb {N}, \ \ln (x^n) = n \ln (x) $ ;
$ \forall x {\gt} 0, \ \ln \left(\frac{1}{x}\right) = -\ln (x) $ ;
$ \lim _{x \to 0^+} \ln (x) = -\infty $ et $ \lim _{x \to +\infty } \ln (x) = +\infty $ ;
pour tout $ x \in \mathbb {R} $, $ \ln (\exp (x)) = x $.

Preuve ▼

On applique 5.5.7 à la fonction $\exp :\mathbb {R}\to \mathbb {R}_{{\gt}0}$.

Énoncé indispensable 5.6.4

(Logarithme vs polynômes) Soit $ n {\gt} 0 $ un entier. On a

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac{\ln (x)}{x^n} = +\infty \]

\[ \lim _{x \to 0^+} x^n \ln (x) = 0. \]

Définition 5.6.5

(fonction puissance) Soit $a\in \mathbb {R}$. On pose pour tout $x{\gt}0$

\[ x^a:= e^{a.\ln (x)} \]

$\includegraphics[scale=0.5]{images/Puissance_reelle}$

Proposition 5.6.6

\[ (x^a)'= a.x^{a-1} \]

Preuve ▼

Posons $g=\exp $ et $f=\ln $. Par 3 on a

\begin{eqnarray*} \left( x^{a} \right)’ = \left( e^{a \ln (x)} \right)’ \\ = \left( \exp \left( o \left( \frac{a \ln (x)}{g(x)} \right) \right) \right)’ \\ = g’ \left( f(x) \right) \cdot f’(x) \\ = e^{a \ln (x)} \cdot \left( \frac{a}{x} \right) \\ = a e^{a \ln (x)} \cdot x^{-1} \\ = a x^{a} x^{-1} = a x^{a - 1} \end{eqnarray*}

Exercice 5.6.7

Étudier le domaine, périodicité, continuité et les variations de chaque fonction:

$f(x)=e^{\cos (x)}$.
$f(x)=e^{-x^4}$