5.6 Exponentielle et logarithme
(fonction exponentielle) Il existe une unique fonction
dérivable qui vérifie
On note cette fonction \(\exp \). Elle a les propriétés suivantes :
\(\forall x \in \mathbb {R}, \ \exp (x) {\gt} 0\);
\(\forall x \in \mathbb {R}, \ \forall y \in \mathbb {R}, \ \exp (x + y) = \exp (x)\exp (y)\);
\(\forall x \in \mathbb {R}, \ \forall n \in \mathbb {Z}, \ (\exp (x))^n = \exp (nx)\);
\(\forall x \in \mathbb {R}, \ \frac{1}{\exp (x)} = \exp (-x)\);
\(\lim _{x \to +\infty } \exp (x) = +\infty \ \text{et} \ \lim _{x \to -\infty } \exp (x) = 0\).
On utilise souvent la notation \(\exp (x) = e^x\).
(Exponentielle vs polynômes). Soit \( n {\gt} 0 \) un entier. On a
et
(foction logarithme) Pour tout \( x \) strictement positif, il existe un unique réel \( y \) tel que \( e^y = x \). On le note \( \ln (x) \) (autrement dit, \( \exp (\ln (x)) = x \)).
La fonction \( x \mapsto \ln (x) \) définie de \( \mathbb {R}_{{\gt}0} \) dans \( \mathbb {R} \), appelée logarithme népérien, a les propriétés suivantes :
elle est strictement croissante, continue et dérivable, de dérivée \( \ln '(x) = \frac{1}{x} \) ;
pour tout \( x {\gt} 0 \), \( \ln (x) = \int _1^x \frac{1}{t} \, dt \) ;
\( \ln (1) = 0 \), \( \ln (e) = 1 \) ;
\( \forall x {\gt} 0, \ \forall y {\gt} 0, \ \ln (xy) = \ln (x) + \ln (y) \) ;
\( \forall x {\gt} 0, \ \forall n \in \mathbb {N}, \ \ln (x^n) = n \ln (x) \) ;
\( \forall x {\gt} 0, \ \ln \left(\frac{1}{x}\right) = -\ln (x) \) ;
\( \lim _{x \to 0^+} \ln (x) = -\infty \) et \( \lim _{x \to +\infty } \ln (x) = +\infty \) ;
pour tout \( x \in \mathbb {R} \), \( \ln (\exp (x)) = x \).
On applique 5.5.7 à la fonction \(\exp :\mathbb {R}\to \mathbb {R}_{{\gt}0}\).
(Logarithme vs polynômes) Soit \( n {\gt} 0 \) un entier. On a
et
(fonction puissance) Soit \(a\in \mathbb {R}\). On pose pour tout \(x{\gt}0\)
![\includegraphics[scale=0.5]{images/Puissance_reelle}](images/img-0018.png)
Posons \(g=\exp \) et \(f=\ln \). Par 3 on a
Étudier le domaine, périodicité, continuité et les variations de chaque fonction:
\(f(x)=e^{\cos (x)}\).
\(f(x)=e^{-x^4}\)