1.3 Produit vectoriel (dans l’espace)
Operation
1.3.1
L’opération de produit vectoriel est exclusive aux vecteurs dans l’espace. Si on a \(\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix}\) vecteurs dans l’espace, on introduit le nouveau vecteur
\[ \vec{v}\wedge \vec{w}:=\begin{pmatrix} v_yw_z-v_zw_y
\\ v_zw_x-v_xw_z
\\ v_xw_y-v_yw_x
\end{pmatrix} \]
Exemple
1.3.2
\(\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\[ \vec{v}\wedge \vec{w}=\begin{pmatrix} 0.1-1.1
\\ 1.0-1.1
\\ 1.1-0.0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1
\\ -1
\\ 1
\end{pmatrix} \]
Propriétés
1.3.3
(produit scalaire et produit vectoriel)
- \[ \vec{v}\bullet (\vec{v}\wedge \vec{w})=0\hspace{2cm} \vec{w}\bullet (\vec{v}\wedge \vec{w})=0 \]
En particulier, \(\vec{v}\wedge \vec{w}\) est toujours orthogonal à \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).
- \[ ||\vec{v}\wedge \vec{w}||=||\vec{v}||.||\vec{w}||.\sin (\gamma )=\text{aire du paral lélogramme engendré par les vecteurs } \vec{v} , \vec{w} \]
\(\vec{v}\wedge \vec{w}=-\vec{w}\wedge \vec{v}\)
\(\vec{\lambda v}\wedge \vec{w}=\lambda \vec{v}\wedge \vec{w}\)
\((\vec{v}+\vec{u})\wedge \vec{w}=\vec{v}\wedge \vec{w}+ \vec{u}\wedge \vec{w}\)