LU1MA001

1.3 Produit vectoriel (dans l’espace)

Operation 1.3.1

L’opération de produit vectoriel est exclusive aux vecteurs dans l’espace. Si on a \(\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix}\) vecteurs dans l’espace, on introduit le nouveau vecteur

\[ \vec{v}\wedge \vec{w}:=\begin{pmatrix} v_yw_z-v_zw_y \\ v_zw_x-v_xw_z \\ v_xw_y-v_yw_x \end{pmatrix} \]
Exemple 1.3.2

\(\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\[ \vec{v}\wedge \vec{w}=\begin{pmatrix} 0.1-1.1 \\ 1.0-1.1 \\ 1.1-0.0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Propriétés 1.3.3

(produit scalaire et produit vectoriel)

  1. \[ \vec{v}\bullet (\vec{v}\wedge \vec{w})=0\hspace{2cm} \vec{w}\bullet (\vec{v}\wedge \vec{w})=0 \]

    En particulier, \(\vec{v}\wedge \vec{w}\) est toujours orthogonal à \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

  2. \[ ||\vec{v}\wedge \vec{w}||=||\vec{v}||.||\vec{w}||.\sin (\gamma )=\text{aire du paral lélogramme engendré par les vecteurs } \vec{v} , \vec{w} \]
  3. \(\vec{v}\wedge \vec{w}=-\vec{w}\wedge \vec{v}\)

  4. \(\vec{\lambda v}\wedge \vec{w}=\lambda \vec{v}\wedge \vec{w}\)

  5. \((\vec{v}+\vec{u})\wedge \vec{w}=\vec{v}\wedge \vec{w}+ \vec{u}\wedge \vec{w}\)