5.5 Variations
Le lien entre la dérivée de \(f\) et les variations de \(f\) est donnée par les résultats suivants:
Soit \(I\) un intervalle et \(f:I\to \mathbb {R}\) une fonction:
On dit que \(f\) admet un maximum en \(a\in \mathbb {R}\) si pour tout \(x\in I\) on a
\[ f(a)\geq f(x) \].
On dit que \(M=f(a)\) est maximum de \(f\) sur \(I\).
On dit que \(f\) admet un minimum en \(a\in I\) si pour tout \(x\in I\) on a
\[ f(a)\leq f(x) \].
On dit que \(m=f(a)\) est le minimum de \(f\).
On dit que \(f(a)\) est un extremum de \(f\) s’il s’agit d’un maximum ou minimum de \(f\).
On dit que \(f\) admet un maximum (resp. minimum) local en \(a\in I\) s’il existe un sous-intervalle \(J\subseteq I\) avec \(a\in J\) tel que pour tout \(x\in J\) on a \(f(a)\geq f(x)\) ( resp. \(f(a)\leq f(x)\)).
Exemple de fonction avec maximum:
Exemple de minimum:
Une fonction peut présenter des minimums et maximums locaux sans nécessairement posséder un minimum ou maximum global:
Soit \(f:I=]a,b[\to \mathbb {R}\) une fonction dérivable en tout \(x\in I\). Soit \(c\in I\). Si \(c\) est un extremum local de \(f\) en \(I\) alors \(f'(c)=0\).
On présente l’argument dans le cas où \(f(c)\) est un maximum. C’est facile d’adapter l’argument pour le cas où \(f(c)\) est un maximum.
Comme \(f\) est dérivable en \(I\), la limite \(\lim _{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) existe. En particulier, chaque limite \(h\to 0^+\) et \(h\to 0^-\) existe aussi et
Comme \(c\) est un maximum local, pour \(h{\gt}0\), on a \(f(c+h)-f(c)\leq 0\) et donc par passage à la limite
Pour \(h{\lt}0\), on a \(f(c+h)-f(c)\leq 0\). Comme \(h{\lt}0\), on a par passage à la limite
Comme la limite existe, on a \(f'(c)=0\).
Voici le résultat principal:
Soit \(f\) une fonction dérivable sur intervalle \(I=[a,b]\). Alors:
Si \(f'\) est positive alors \(f\) est croissante.
Si \(f'\) est strictement positive alors \(f\) est strictement croissante.
Si \(f'\) est négative alors \(f\) est décroissante.
Si \(f'\) est strictement négative alors \(f\) est strictement décroissante.
Si \(f'\) est positive alors \(f\) est croissante.
Si \(f'\) est la fonction nulle alors \(f\) est constante.
Nous démontrerons ce résultat avec une hypothèse supplementaire de continuité de \(f'\) après avoir vu la théorie d’intégration 5.8 et le théorème des accroissements finis 5.10.3.
Nous terminons par un énoncé indispensable qui permet d’améliorer le 5.3.12 et nous permettra de construire de nombreuses nouvelles fonctions.
Soit \( f : [a, b] \to F \), strictement monotone et dérivable. Alors \( f \) est une bijection et sa fonction réciproque \( f^{-1} \) est dérivable en tout \( y \) tel que \( f'(f^{-1}(y)) \neq 0 \). Sa dérivée est donnée par