LU1MA001

3.1 Opérations sur les polynômes

Définition 3.1.1

Un polynôme à coefficients réels ou complexes est une expression de la forme

\[ P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0 = \sum _{k=0}^{n} a_k X^k, \]

où les \(a_k\) sont des éléments de \(\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {C}\), appelés les coefficients du polynôme \(P\).

Définition 3.1.2

Si \(a_n \neq 0\), le degré du polynôme \(P\) est \(\deg P = n\).

Exemple 3.1.3

  • \(P(X)=2X\)

  • \(P(X)=5\)

  • \(P(X)=X^3\)

  • \(P(X)=2X^5+2X^3\)

  • \(P(X)= 4X^{10}+ 3X^2+X+2\)

  • \(P(X)=0\) (Polynôme nul)

Définition 3.1.4

Le polynôme \(P\) est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Notation 3.1.5

On écrit \(\mathbb {R}[X]\), \(\mathbb {C}[X]\) pour l’ensemble des polynômes à coefficients réels ou complexes.

Operation 3.1.6

(Somme) On peut ajouter deux polynômes

\[ P = \sum _{k=0}^{n} a_k X^k \hspace{1cm} Q = \sum _{k=0}^{m} b_k X^k \]

On obtient le polynôme

\[ P + Q = \sum _{k=0}^{\max (n,m)} (a_k + b_k) X^k. \]

de degré inférieur ou égal au maximum des degrés de \(P\) et \(Q\).

Exemple 3.1.7

Soient

\[ P(X)=2X^3+2X^5 \hspace{1cm} Q(X)= 4X^{10}+ 3X^2+X+2 \]

Alors

\[ (P+Q)(X)= P(X)+ Q(X)= 2+X+3X^2+ 2X^3+ 2X^5+4X^{10} \]
Operation 3.1.8

(Multiplication par un scalaire) On peut multiplier un polynôme

\[ P = \sum _{k=0}^{n} a_k X^k \]

par un nombre réel ou complexe \(t\) : on obtient le polynôme

\[ t \cdot P = \sum _{k=0}^{n} (t a_k) X^k. \]

de même degré que \(P\) :

Operation 3.1.9

(Multiplication de Polynômes) Si

\[ P(X) = \sum _{k=0}^{n} a_k X^k \]

est un polynôme de degré \(n\) et

\[ Q(X) = \sum _{k=0}^{m} b_k X^k \]

est de degré \(m\), alors leur produit

\[ P \cdot Q(X) = c_{n+m} X^{n+m} + c_{n+m-1} X^{n+m-1} + \dots + c_0 \]

est un polynôme de degré

\[ \deg (P \cdot Q) = \deg (P) + \deg (Q) = n + m. \]

Ses coefficients sont donnés par des sommes finies, qu’on calcule en développant le produit :

\[ c_0 = a_0 b_0 \]
\[ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 \]
\[ c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 \]
\[ \vdots \]
\[ c_l = a_0 b_l + a_1 b_{l-1} + \dots + a_l b_0 = \sum _{i,j \geq 0, i+j=l} a_i b_j \]
\[ c_{n+m} = a_n b_m \]
Exemple 3.1.10

Soient

\[ P(X)=2X^5+2X^3\hspace{1cm}Q(X)= 4X^{10}+ 3X^2+X+2 \]

Alors

\[ P(X).Q(X)=(2X^5+2X^3)(4X^{10}+ 3X^2+X+2)= \]
\[ =2.X^5.(4X^{10}+ 3X^2+X+2)+2X^3.(4X^{10}+ 3X^2+X+2) \]
\[ =8X^{15}+6X^{7}+2X^6+4X^5 + 8X^{13}+ 6X^5+ 2X^4+4X^3= \]
\[ =8X^{15}+8X^{13}+6X^{7}+2X^6 + 10X^5+2X^4+4X^3 \]