7.1 Définition de DL
Modifiez les paramètres \(a\), \(b\) et \(c\) pour trouver la parabole qui se rapproche le plus de la fonction cosinus en \(0\).
Le but des développements limités est d’approximer une fonction par des polynômes. La philosophie était que les polynômes sont faciles à manipuler, tandis que les fonctions en général sont plus compliquées.
On veut approximer la fonction \( f(x) = e^x \) par des polynômes dans un voisinage de \( x = 0 \).
On peut procéder par étapes :
On connaît la valeur de \( f \) en \( 0 \), c’est-à-dire \( f(0) = e^0 = 1 \). Bien que la fonction constante \( f(x) = 1 \) ne soit pas égale à la fonction exponentielle, elle constitue une première approximation locale de \( f \) autour de \( x = 0 \).
\[ e^x = e^0 + \underbrace{\textbf{R}(x)}_{\text{le reste}} \]En \( x = 0 \), le reste est nul, c’est-à-dire \( R(0) = 0 \).
On cherche une approximation plus précise. Une idée simple est de prendre la droite tangent au graphe de \( f(x)=e^x \) en \( 0 \).
\[ y = f'(0)x + f(0) = e^0 x + 1 = x + 1 \]C’est déjà mieux, mais ce n’est pas encore la fonction exponentielle.
\[ e^x = 1 + x + \underbrace{\textbf{R}(x)}_{\text{le reste}} \]Pour améliorer encore l’approximation, on constate que dans le premier cas, on a simplement pris en compte la position, et dans le deuxième cas, la vitesse donnée par la dérivée \( f'(0) \). L’approximation s’améliorera donc si l’on prend également en compte l’accélération, donnée par la dérivée seconde \( f''(0) \).
\[ y = f''(0) \cdot \frac{x^2}{2} + f'(0) x + f(0) = 1 + x + \frac{x^2}{2} \]\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \underbrace{\textbf{R}(x)}_{\text{le reste}} \]
On observe qu’à chaque étape, le reste de l’approximation suivante dévoile une partie du reste de l’approximation précédente.
Comment obtenir des approximations encore plus fidèles de \( e^x \) ?
L’idée est d’utiliser toutes les dérivées d’ordre supérieur, \( f^{(3)}(0), f^{(4)}(0), f^{(5)}(0), \dots \), etc. C’est ce que nous appellerons la formule de Taylor-Young.
Mais dans le cas de la fonction exponentielle, il existe une méthode encore plus simple pour obtenir des approximations polynomiales de l’exponentielle. En effet, on a montré dans 5.6.1 que la fonction exponentielle est l’unique fonction \( f \) qui vérifie \( f' = f \).
Nous allons donc essayer de construire un polynôme \( P(x) \) tel que \( P'(x) = P(x) \).
Posons un polynôme de degré \( n \) :
Sa dérivée est le polynôme :
Si l’on veut \( P' = P \), il faut que les coefficients soient égaux :
Ainsi, on obtient :
Bien sûr, \( P'(x) \) est un polynôme de degré \( n-1 \), et donc ne peut pas être égal à \( P(x) \). Mais on voit que tout change si l’on s’autorise des polynômes de degré infini, ce que l’on appelle une série formelle :
qui vérifie par construction que \( P' = P \). On voit donc, par l’unicité de la fonction exponentielle vis-à-vis de cette propriété, que
Modifier le paramètre \(n\) pour obtenir des approximations polynomiales de meilleure qualité:
\(\exp (x)\);
\(\cos (x)\);
\(\sin (x)\);
\(1/(1-x)\);
\(1/(1+x)\);
\(\ln (1+x)\);
\(\sqrt{1+x}\);
\(\sin (x)*\cosh (x)\);
\(\exp (\exp (x))\);
\(\tan (x)\), \(1/\cos (x)\);
Pour l’instant, nous n’avons pas encore précisé la définition de l’approximation.
Soit \( f : I \to \mathbb {R} \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) autour de \( a \in I \). On dit que \( f \) admet un Développement limité (DL) d’ordre \( n \) en \( x = a \) s’il existe un polynôme \( P_n(x) \) de degré \( n \) tel que la fonction "reste" d’ordre \( n \)
tend plus vite vers \(0\) que \( (x-a)^n \), c’est-à-dire
Pour une fonction \(R(x)\), on écrit \(R(x) = o((x-a)^n) \) si