2.3 Racines de l’unité
Le carré d’un nombre complexe.
Puissances d’un nombre complexe: forme polaire et cartesienne.
Racines d’un nombre complexe:
Comment trouver les racines carrées d’un nombre complexe \(z\)?
Si \(z\) est en coordonnées polaires, c’est facile: \(z=re^{i\theta }\) alors les racines carrées de z sont
\[ z_1= \sqrt{r}e^{i \frac{\theta }{2}}, \hspace{2cm} z_2= \sqrt{r}e^{i( \frac{\theta }{2}+\pi )} \]Si \(z\) est en coordonnées cartesiennes, nous pouvons soit le convertir en coordonnées polaires, soit essayer une approche plus directe: On cherche un nombre complexe \(w=a+ib\) tel que \(w^2=z\). Alors
\[ w^2=a^2-b^2 + i.2.a.b = x+iy \]Donc on retrouve un système d’équations:
\[ \begin{cases} a^2-b^2=x, & \text{pour la partie réelle}\\ 2ab=y, & \text{pour la partie imaginaire} \end{cases} \]et une troisième équation: si \(w^2=z\) alors \(|w^2|=|w|^2=|z|\) donc \(a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}\). Donc on a un système à trois équations:
\[ \begin{cases} a^2-b^2=x, & \text{pour la partie réelle}\\ 2ab=y, & \text{pour la partie imaginaire}\\ a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2} & \text{pour les modules} \end{cases} \]
Racines de l’unité
Il y a n solutions:
Ou alors, sous la forme
Montrer que
tandis que
Équations du second degré:
On considère une équation du second degré \(az^2 + bz + c = 0\) avec \(a, b, c \in \mathbb {C}\) et \(a \neq 0\). Son discriminant est \(\Delta = b^2 - 4ac\). On note \(\pm \delta \) les deux racines carrées complexes de \(\Delta \) (éventuellement confondues). Alors l’équation a deux solutions dans \(\mathbb {C}\) (éventuellement confondues) : \(\frac{-b \pm \delta }{2a}\).