LU1MA001

Le carré d’un nombre complexe.

Puissances d’un nombre complexe: forme polaire et cartesienne.

Racines d’un nombre complexe:

On applique les deux stratégies. Soit \(z=1+i\). Commençons par écrire z sous forme polaire. L’angle \(\theta \) est de \(45^\circ \) donc \(\frac{\pi }{4}\). On a aussi

Donc, on a d’après la formule d’Euler

. On peut maintenant calculer les racines carrés:

• avec \(z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\) on retrouve deux racines carrées:

  \[ z_1=\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i \frac{\frac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}}\hspace{2cm} z_2=-\sqrt{\sqrt{2}}. e^{i \frac{\frac{\pi }{4}}{2}}=-\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}} \]

  Attention: \(z_2\) n’est pas encore sous forme polaire:

  \[ -\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}}=(-1).\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}}=e^{i \pi }. \sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}}=\sqrt[4]{2}.e^{i (\frac{\pi }{8}+\pi )}= \sqrt[4]{2}.e^{i (\frac{\pi }{8}+\frac{8}{8}\pi )}=\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{9\pi }{8}} \]

  Donc les deux racines:

  \[ z_1=\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{\pi }{8}}\hspace{2cm} z_2=\sqrt[4]{2}.e^{i \frac{9\pi }{8}} \]

• avec \(z=1+i\) sous forme cartésienne: on cherche \(w=a+ib\) tel que \(w^2=z\). On résoudre donc le système:

  \[ \begin{cases} a^2-b^2=x=1, & \text{pour la partie réelle}\\ 2ab=y=1, & \text{pour la partie imaginaire}\\ a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2} & \text{pour le module} \end{cases} \]

  Par la prèmiere équation on a

  \[ a^2=1+ b^2 \]

  On la remplace dans la derniére équation

  \[ 1+b^2+b^2=\sqrt{2} \]
  \[ 1+2b^2=\sqrt{2} \]
  \[ b^2=\frac{\sqrt{2} -1}{2} \]

  et donc par la prèmiere équation

  \[ a^2= 1+\frac{\sqrt{2} -1}{2}= \frac{2+\sqrt{2}-1}{2}= \frac{\sqrt{2}+1}{2} \]

  Comme \(a.b\) est positif, \(a\) et \(b\) ont le même signe. Donc on a deux possibilités:

  \[ z_1=\sqrt{ \frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i. \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\hspace{2cm} z_2=-\sqrt{ \frac{\sqrt{2}+1}{2}}-i. \sqrt{ \frac{\sqrt{2}-1}{2}} \]

En particulièr, par la formule d’Euler on retrouve des formules explicites pour le cosinus et sinus de \(\frac{pi}{8}\):

donc

Les racines carrées de \(1\) sont : \( z_1 = 1 \) et \( z_2 = -1 \).

Racines cubiques de l’unité : On cherche des nombres complexes \(z\) tels que \(z^3=1\). Il y a une solution évidente, \(z_1=1\), car \(1^3=1\). Cherchons les autres. Sous forme polaire, c’est facile : posons \(z=re^{i\theta }\). On cherche \(r\) et \(\theta \) tels que

Alors, il faut que \(r^3=1\) dans \(\mathbb {R}\). Mais ici, la seule solution est \(r=1\). Il reste donc à chercher \(\theta \) tel que

Alors, posons \(\theta =\frac{2\pi }{3}\).

En effet, \(z_2=1\cdot e^{i\frac{2\pi }{3}}\) est une racine cubique de \(1\), car

Mais \(z_1\) n’est pas la seule racine cubique. En effet, \(1\) peut aussi s’écrire comme \(e^{i4\pi }\). Donc, on peut aussi chercher \(\theta \) tel que

ou encore

Posons \(z_3=e^{i\frac{4\pi }{3}}\). Vérifions que \(z_3\) est aussi une racine cubique de \(1\) :

Notons que \(z_3=z_2^2\) car

Donc, on a trouvé les trois racines cubiques de \(1\) que l’on peut dessiner :

Racines quatrièmes de l’unité : \( z_0 = 1 \), \( z_1 = i =e^{i\frac{2\pi }{4}}\), \( z_2 = -1=e^{i\frac{4\pi }{4}} \), \( z_3 = -i= e^{i\frac{6\pi }{4}}\).