I Première partie: Cycle d’accueil 6 Continuité, Limites, Théorème des valeurs intermédiaires 8 Primitives et Intégrales

CM 7: Dérivées, Variations, Fonctions composées et leurs dérivées.

Exemple 7.1.

La fonction derivée:

Exemple 7.2.

Derivée par la pente

Définition 7.3.

Soit $f:I=[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction, $a$ un point à l’interieur de $I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

(1)

existe.

On dit que $f$ est dérivable si elle est dérivable en tout point $a$ de $I$ . Si la fonction est dérivable, on pose $f^{\prime}:I\to\mathbb{R}$ la fonction

a\mapsto f^{\prime}(a):=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ .

Exemple 7.4.

•

La fonction constante $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=c,\,\,\forall x\in\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . En effet, pour chaque $x\in\mathbb{R}$ on a

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to 0}% \frac{0}{h}=0$

donc $f^{\prime}=0$ est la fonction nulle.
•

Soit $n\in\mathbb{N}$ avec $n\geq 1$ . La fonction $f(x)=x^{n}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . En effet:

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$

La formule du binôme (exercice: montrer par récurrence) donne

$(x+h)^{n}=x^{n}+h.\sum_{i\geq 1}^{n}{n\choose i}x^{n-i}.h^{i-1}$

,

d’où

$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x^{n}+h.\sum_{i\geq 1% }^{n}{n\choose i}x^{n-i}.h^{i-1}-x^{n}}{h}=$

$=\lim_{h\to 0}\frac{h.\sum_{i\geq 1}^{n}{n\choose i}x^{n-i}.h^{i-1}}{h}=n.x^{n% -1}$

d’où $(x^{n})^{\prime}=n.x^{n-1}$ .
•

La fonction $f(x)=|x|$ n’est pas dérivable en $x=0$ . En effet,

$\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|(0+h)|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1$

$\lim_{h\to 0^{-}}\frac{|(0+h)|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1$

Proposition 7.5.

Propriétés des fonctions dérivables:

1.

La somme de fonctions dérivables en un point $a$ est dérivable en $a$ .
2.

Le produit de fonctions $f$ et $g$ dérivables en $a$ est dérivable en $a$ .
3.

Soit $f:]a,b[\to\mathbb{R}$ et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ deux fonctions dérivables. Alors la fonction $g\circ f:]a,b[\to\mathbb{R}$ est également dérivable, et

$\forall x\in]a,b[,\quad(g\circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x))\cdot f^{\prime}% (x).$
4.

Si $f:I\to\mathbb{R}$ est dérivable en $I$ alors $f$ est continue en $I$ .
5.

Si $f:I\to J$ est dérivable en $a\in I$ avec $f^{\prime}(a)\neq 0$ et $f$ admet une fonction inverse $g$ continue, alors l’inverse est dérivable en $f(a)$ et on a $g^{\prime}(f(a))=\frac{1}{f^{\prime}(a)}$ .

Démonstration.

1.

Exercice.
2.

On démontre (2): En effet:

$\lim_{h\to 0}\frac{(fg)(a+h)-(f.g)(a)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h).g(a+h)-f(a% ).g(a)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h).g(a+h)-f(a).g(a)}{h}=$

$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h).g(a+h)-f(a+h).g(a)+f(a+h).g(a)-f(a).g(a)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h).(g(a+h)-g(a))+g(a)(f(a+h)-f(a))}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h).(g(a+h)-g(a))}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(a)(f(a+h)-f(% a))}{h}$

$=f(a).g^{\prime}(a)+g(a).f^{\prime}(a)$

d’où $(f.g)^{\prime}=f^{\prime}g+f.g^{\prime}$ .
3.

Supposons $f$ et $g$ dérivables. On veut calculer

$\lim_{h\to 0}\frac{g(f(x+h))-g(f(x)))}{h}$

Comme $f$ est dérivable, on pose

$v=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x),\,\,\,\,\,\,\,\lim_{h\to 0}v=0$

Comme $g$ est dérivable, on pose

$w=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g^{\prime}(x),\,\,\,\,\,\,\lim_{h\to 0}w=0$

Par construction, on a

$f(x+h)=h(v+f^{\prime}(x))+f(x)$

$g(y+k)=k(w+g^{\prime}(y))+g(y)$

On pose $y=f(x)$ et $k=(v+f^{\prime}(x))h$ . Donc,

$\lim_{h\to 0}\frac{g(f(x+h))-g(f(x)))}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(w+g^{\prime}(f(x% )))(v+f^{\prime}(x))h}{h}=g^{\prime}(f(x)).f^{\prime}(x)$
4.

Exercice.
5.

On montre (5). Comme $g$ est inverse de $f$ , pour chaque $b\in J$ il existe un unique $a\in I$ avec $f(a)=b$ . On veut donc montrer que la limite

$\lim_{h\to 0}\frac{g(b+h)-g(b)}{h}$

existe et est égale à $\frac{1}{f^{\prime}(a)}$ . On pose

$k=g(b+h)-g(b)=g(f(a)+h)-a$

Alors,

$a+k=g(b+h)$

ou de façon équivalente $f(a+k)=b+h$ . Il faut donc montrer que la limite $\lim_{h\to 0}\frac{k}{h}$ existe et est égale à $\frac{1}{f^{\prime}(a)}$ . Comme $g$ est continue, on a $\lim_{h\to 0}k(h)=0$ . Comme $h=b+h-b$ , on a

$\lim_{h\to 0}\frac{k}{(b+h)-b}=\lim_{k\to 0}\frac{k}{(f(a+k)-f(a)}=\frac{1}{f^% {\prime}(a)}$

∎

Exemple 7.6.

Derivée de la fonction composée.

Le lien entre la dérivée de $f$ et les variations de $f$ est donnée par les résultats suivants:

Définition 7.7.

Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction:

•

On dit que $f$ admet un maximum en $a\in\mathbb{R}$ si pour tout $x\in I$ on a

$f(a)\geq f(x)$

.

On dit que $M=f(a)$ est maximum de $f$ sur $I$ .
•

On dit que $f$ admet un minimum en $a\in I$ si pour tout $x\in I$ on a

$f(a)\leq f(x)$

.

On dit que $m=f(a)$ est le minimum de $f$ .
•

On dit que $f(a)$ est un extremum de $f$ s’il s’agit d’un maximum ou minimum de $f$ .
•

On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) local en $a\in I$ s’il existe un sous-intervalle $J\subseteq I$ avec $a\in J$ tel que pour tout $x\in J$ on a $f(a)\geq f(x)$ ( resp. $f(a)\leq f(x)$ ).

Exemple 7.8.

Exemple de fonction avec maximum:

Exemple 7.9.

Exemple de minimum:

Remarque 7.10.

Une fonction peut présenter des minimums et maximums locaux sans nécessairement posséder un minimum ou maximum global:

Proposition 7.11.

Soit $f:I=]a,b[\to\mathbb{R}$ une fonction dérivable en tout $x\in I$ . Soit $c\in I$ . Si $c$ est un extremum local de $f$ en $I$ alors $f^{\prime}(c)=0$ .

Démonstration.

On présente l’argument dans le cas où $f(c)$ est un maximum. C’est facile d’adapter l’argument pour le cas où $f(c)$ est un minimum.

Comme $f$ est dérivable en $I$ , la limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ existe. En particulier, chaque limite $h\to 0^{+}$ et $h\to 0^{-}$ existe aussi et

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f% (x_{0})}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

Comme $c$ est un maximum local, pour $h>0$ , on a $f(c+h)-f(c)\leq 0$ et donc par passage à la limite

\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0

Pour $h<0$ , on a $f(c+h)-f(c)\leq 0$ . Comme $h<0$ , on a par passage à la limite

\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(c+h)-f(x_{0})}{h}\geq 0

Comme la limite existe, on a $f^{\prime}(c)=0$ .

∎

Théorème 7.12 (de Rolle).

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ et tel que $f(a)=f(b)$ . Alors il existe $c\in]a,b[$ tel que

f^{\prime}(c)=0

Démonstration.

∎

Corollaire 7.13.

Soit $f$ une fonction dérivable sur intervalle $I=[a,b]$ . Alors:

1.

Si $f^{\prime}$ est positive alors $f$ est croissante.
2.

Si $f^{\prime}$ est strictement positive alors $f$ est strictement croissante.
3.

Si $f^{\prime}$ est négative alors $f$ est décroissante.
4.

Si $f^{\prime}$ est strictement négative alors $f$ est strictement décroissante.
5.

Si $f^{\prime}$ est positive alors $f$ est croissante.
6.

Si $f^{\prime}$ est la fonction nulle alors $f$ est constante.

Démonstration.

C’est une conséquence directe du lemma de Rolle. On donne une démonstration pour le deuxième cas: Supposons $b>a$ . On veut montrer que $f(b)>f(a)$ ou de façon équivalente, que $f(b)-f(a)>0$ . Par le LABEL:acroissements on a $f(b)-f(a)=(b-a).f^{\prime}(c)$ . Comme $b>a$ , on a $b-a>0$ . Aussi, comme $f^{\prime}>0$ , on a $f^{\prime}(c)>0$ . Donc $f(b)-f(a)=(b-a).f^{\prime}(c)>0$ .

∎

Énoncé indispensable 7.14.

La fonction exponentielle. Il existe une unique fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ dérivable qui vérifie $f^{\prime}(x)=f(x)\ \forall x\in\mathbb{R},\ f(0)=1.$ On note cette fonction $\exp$ . Elle a les propriétés suivantes :

•

$\forall x\in\mathbb{R},\ \exp(x)>0$ ;
•

$\forall x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ ;
•

$\forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{Z},\ (\exp(x))^{n}=\exp(nx)$ ;
•

$\forall x\in\mathbb{R},\ \frac{1}{\exp(x)}=\exp(-x)$ ;
•

$\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$ .

On utilise souvent la notation $\exp(x)=e^{x}$ .

Énoncé indispensable 7.15.

(Exponentielle vs polynômes). Soit $n>0$ un entier. On a

\lim_{x\to+\infty}\frac{\exp(x)}{x^{n}}=+\infty

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}}{\exp(x)}=0.

Énoncé indispensable 7.16.

(Le logarithme) Pour tout $x$ strictement positif, il existe un unique réel $y$ tel que $e^{y}=x$ . On le note $\ln(x)$ (autrement dit, $\exp(\ln(x))=x$ ). La fonction $x\mapsto\ln(x)$ définie de $\mathbb{R}_{>0}$ dans $\mathbb{R}$ , appelée logarithme népérien, a les propriétés suivantes :

•

elle est strictement croissante, continue et dérivable, de dérivée $\ln^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$ ;
•

pour tout $x>0$ , $\ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt$ ;
•

$\ln(1)=0$ , $\ln(e)=1$ ;
•

$\forall x>0,\ \forall y>0,\ \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ ;
•

$\forall x>0,\ \forall n\in\mathbb{N},\ \ln(x^{n})=n\ln(x)$ ;
•

$\forall x>0,\ \ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x)$ ;
•

$\lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ ;
•

pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\ln(\exp(x))=x$ .

Énoncé indispensable 7.17.

(Logarithme vs polynômes) Soit $n>0$ un entier. On a

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^{n}}=+\infty

\lim_{x\to 0^{+}}x^{n}\ln(x)=0.