I Première partie: Cycle d’accueil 7 Dérivées, Variations, Fonctions composées et leurs dérivées.9 Intégration par parties

CM 8: Primitives et Intégrales

Définition 8.1.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ , de dérivée $f$ .

F^{\prime}=f

Remarque 8.2.

Si $F$ est une primitive et $C\in\mathbb{R}$ , alors $F+C$ est encore une primitive.

Proposition 8.3.

Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ . Alors l’ensemble des primitives de $f$ est l’ensemble des fonctions $F+C$ pour $C\in\mathbb{R}$ .

Démonstration.

On a déjà remarqué que toutes les fonctions $F+C$ sont des primitives. Montrons que ce sont les seules : soit $G$ une primitive. Alors $G-F$ est dérivable sur $I$ , de dérivée $G^{\prime}-F^{\prime}=f-f=0$ . D’après le théorème des accroissements finis, $G-F$ est constante. Notons $C$ sa valeur. On a alors $G=F+C$ . ∎

Définition 8.4.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ . Alors :

•

Il existe une primitive $F$ de $f$ définie sur $I$ .
•

Soient $a$ et $b$ dans $I$ . Alors la valeur de $F(b)-F(a)$ ne dépend pas du choix de la primitive $F$ de $f$ .

Définition 8.5.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $F$ une primitive. Soient $a$ et $b$ dans $I$ . Alors, on appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ le nombre

\int_{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)

Remarque 8.6.

•

Le nom de la variable importe peu dans la notation de l’intégrale : $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ .
•

Le deuxième point découle de la proposition précédente : en effet, si on choisit une autre primitive $G$ , alors il existe un réel $c$ tel que $G=F+c$ . On a donc :

$G(b)-G(a)=(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a).$
•

On obtient immédiatement

$\int_{a}^{b}f(t)\,dt=-\int_{b}^{a}f(t)\,dt\quad\text{et}\quad\int_{a}^{a}f(t)% \,dt=0.$
•

Fixons $a\in I$ et observons la fonction $x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ . Si $F$ est une primitive de $f$ , on peut la réécrire $x\mapsto F(x)-F(a)$ . C’est donc la primitive de $f$ qui s’annule en $a$ . On utilisera donc la notation $\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ pour désigner une primitive quelconque.

Énoncé indispensable 8.7.

( Relation de Chasles)

\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\int_{a}^{c}f(t)\,dt+\int_{c}^{b}f(t)\,dt.