I Première partie: Cycle d’accueil 5 Fonctions.Exemples. Composition 7 Dérivées, Variations, Fonctions composées et leurs dérivées.

CM 6: Continuité, Limites, Théorème des valeurs intermédiaires

Nous allons étudier la continuité des fonctions. Cela exprime l’idée que l’on peut parcourir le graphe sans jamais lever le stylo.

L’outil de base est la notion de limite, que nous définirons ici de manière informelle.

Définition 6.1.

Une fonction $f(x)$ :

•

admet une limite finie $L$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ par la gauche, ie, $x<a$ , si $f(x)$ prend une valeur d’autant plus proche de $L$ que x est proche de $a$ . On écrit

$\lim_{x\to a^{-}}\,f(x)=L$
•

admet une limite finie $L$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ par la droite, ie, $x>a$ , si $f(x)$ prend une valeur d’autant plus proche de $L$ que $x$ est proche de $a$ . On écrit

$\lim_{x\to a^{+}}\,f(x)=L$
•

admet une limite finie $L$ en $a$ lorsque les deux limites, à gauche et à droite, existent et coïncident, ie,

$\lim_{x\to a^{-}}\,f(x)=L=\lim_{x\to a^{+}}\,f(x)$

Exemple 6.2.

Exemple où il n’y a pas de limite à gauche ni à droite.

Exemple 6.3.

Exemple où il y a une limite à gauche mais pas de limite à droite.

Exemple 6.4.

Exemple où il y a une limite à gauche et une limite à droite, mais elles ne coïncident pas.

Proposition 6.5.

(Propriétés des limites: somme et produits) Soient $f$ et $g$ fonctions réels définies sur un intervalle $I=[a,b]$ . Soit $c\in]a,b[$ et supposons que les limites $\lim_{x\to c}f(x)$ et $\lim_{x\to c}g(x)$ existent, avec

\lim_{x\to c}f(x)=\ell,\hskip 28.45274pt\lim_{x\to c}g(x)=\kappa

Alors:

•

$\lim_{x\to c}\left(f(x).g(x)\right)=\ell.\kappa$
•

$\lim_{x\to c}\left(f(x)+g(x)\right)=\ell+\kappa$
•

Si $f(x)\leq g(x)$ au voisinage de $c$ alors $\ell\leq\kappa$ .

Application 6.6.

(Théorème des gendarmes) Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ et soit $a$ un point de $I$ . Supposons que

\forall x\in I,f(x)\leq g(x)\leq h(x)

et qu’il existe un réel $\ell$ tel que

\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell

Alors

\lim_{x\to a}g(x)=\ell

Exemple 6.7.

On montre que $\lim_{x\to 0}\,x.\sin(x)=0$ . On sait que

-1\leq\sin(x)\leq 1

Donc, si on multiplie par $x$ on obtient

-|x|\leq x.\sin(x)\leq|x|

Comme $\lim_{x\to 0}|x|=\lim_{x\to 0}(-|x|)=0$ , on a que $\lim_{x\to 0}\,x.\sin(x)=0$

Définition 6.8.

Soient $f:I\to\mathbb{R}$ et $a\in I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si la limite $\lim_{x\to a}f(x)$ existe et est égale à $f(a)$ .

Exemple 6.9.

Limites et continuité.

Exemple 6.10.

Limites et continuité.

Théorème 6.11.

(Théoreme des valeurs intermédiaires) Soient $a<b$ deux réels et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ . Alors pour tout réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=y$ .

Exemple 6.12.

Exercice 6.13.

L’image suivante représente la planète Terre et son cercle équatorial.

Montrer qu’il y a toujours deux points opposés sur la ligne de l’équateur qui ont la même température.

Théorème 6.14.

Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction strictement croissante ou strictement décroissante et continue. Soit $y$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ . Alors, il existe un unique point $c$ dans l’intervalle $[a,b]$ tel que $f(c)=y$ .

Démonstration.

Le théoreme des valeurs intermédiaires donne l’existence de $c$ mais pas l’unicité. Supposons donc que $c$ n’est pas unique, ie, qu’il existe aussi $c^{\prime}$ , tel que $f(c)=f(c^{\prime})=y$ . On peut donc supposer $c<c^{\prime}$ . Mais par hypothèse la fonction est strictement croissante. Donc $f(c)<f(c^{\prime})$ . C’est donc une contradiction avec $f(c)=f(c^{\prime})$ . ∎