I Première partie: Cycle d’accueil 4 Polynômes 6 Continuité, Limites, Théorème des valeurs intermédiaires

CM 5: Fonctions.Exemples. Composition

Définition 5.1.

Une fonction réelle $f$ est une règle qui associe à chaque nombre réel $x$ une valeur unique $f(x)$ .

Exemple 5.2.

•

Si $x=t$ représente le temps écoulé depuis $1800$ en années $(t=1=1801,t=2=1802,etc.)$ , alors $P(t)$ est la taille de la population humaine après $t$ années.
•

Si $x$ c’est la coordonnée d’un point dans la salle, la temperature au point de coordonnée $x$ est une fonction $T(x)$ .
•

Si $x=r$ est un rayon d’un circle, alors son aire est $A(x)=\pi x^{2}$ .
•

Si $x=A$ est l’aire d’un carré, alors la longueur de son côté est $\sqrt{x}$ .

Définition 5.3.

Pour préciser une fonction $f$ , il faut spécifier les données d’entrée et de sortie:

•

Le domaine $D$ de $f$ est le sous-ensemble des nombres réels acceptés par $f$ , ie, les données d’entrée.
•

L’image de $f$ , est l’ensemble des résultats de $f$ , ie les données de sortie.

On écrit

f:D\to I

pour dire que $f$ est une fonction qui accepte des nombres $x$ appartenant à $D\subseteq\mathbb{R}$ et, à chaque, associe un nombre réel $f(x)$ appartenant à $I\subseteq\mathbb{R}$ .

Exemple 5.4.

•

La fonction $\sqrt{x}$ n’accepte pas de valeurs négatives ou nulles et sort que des nombres positifs.

$\sqrt{}:D=[0,+\infty[\to I=[0,+\infty[$
•

La loi qui associe à chaque nombre $x$ non-nul son inverse $\frac{1}{x}$ est une fonction qui accepte tous les nombres sauf $x=0$ et sort aussi des nombres non nuls. Par conséquent,

$f:D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\to I=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Définition 5.5.

À chaque fonction $f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ on associe son graphe, l’ensemble des paires du plan $\mathbb{R}^{2}$ ,

(x,f(x))=(\text{donnée d' entrée, donnée de sortie correspondante})

Exemple 5.6.

Par définition de fonction, à chaque donnée d’entrée correspond une seule donnée de sortie. Par conséquent, le dessin suivantes ne peuvent pas correspondre au graphe d’une fonction:

En effet, pour la valeur d’entrée $x=1$ , deux sorties, à savoir $1$ et $-1$ , ont été associées.

Nous allons maintenant examiner plusieurs fonctions standard :

Exemple 5.7.

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=|x|$ .

Exemple 5.8.

Fonctions polynomiales: fonctions n’impliquent qu’un nombre fini de multiplications et de sommes de la variable $x$

•

$f(x)=20*x$ ;
•

$f(x)=x^{2}=x*x$
•

$f(x)=x^{3}$
•

$f(x)=x^{3}+x^{2}+x-1$
•

$f(x)=\pi x^{10}+\sqrt{2}$

Leur domaine est $\mathbb{R}$ et leur image aussi.

Exemple 5.9.

(La fonction exponentielle) Soit $n$ un nombre naturel. On pose

10^{n}=10\times 10\times 10\times\dots\times 10\times 10\,\,\,\,\,\,n\text{ fois}

10^{-n}=\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}\times\dots\times\frac% {1}{10}\times\frac{1}{10}\,\,\,\,\,n\text{ fois}

On appelle ordre de grandeur l’entier $n$ dans l’exposant de $10^{n}$ .

L’image ne respecte pas l’échelle réelle:

La distance Terre-Lune ( $10^{8}$ m) est supérieure en $2$ ordres de grandeur (100 fois) aux tailles respectives de la Terre et de la Lune. Si nous respectons les échelles, voici à quoi ça ressemble en réalité:

La distance Terre-Soleil ( $10^{1}1$ m) dépasse en $2$ ordres de grandeur (100 fois) le rayon du soleil ( $\sim 10^{9}$ m), lui même environ 3 ordres de grandeur (1000 fois) supérieur au rayon de la Terre:

Il n’y a aucune raison de prendre uniquement des puissances de 2. Nous pouvons prendre des puissances de 2, 3, $\pi$ , etc. Voici un exemple avec les puissances de $2$ :

Il existe un nombre plus pratique à utiliser comme base, à savoir le nombre d’Euler $e$ . Nous verrons pourquoi lors du prochain cours.

Exemple 5.10.

(Sinus,Cosinus, Tangent)

Définition 5.11.

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction réelle. On dit que:

1.

$f$ est paire si pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=f(-x)$ ;
2.

$f$ est impaire si pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=-f(-x)$ ;
3.

$f$ est periodique de période $T$ si pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=f(x+T)$ .

Définition 5.12.

Une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ est

•

majorée sur $D$ s’il existe un réel $M$ tel que pour tout $x$ dans $D$ , $f(x)\leq M$ . On dit que $M$ est un majorant de $f$ . Le graphe de $f$ reste en dessous de la ligne horizontale $y=M$ .
•

minorée sur $D$ s’il existe un réel $m$ tel que pour tout $x$ dans $D$ , $f(x)\geq m$ . On dit que $m$ est un minorant de $f$ . Le graphe de $f$ reste au-dessus de la ligne horizontale $y=m$ .
•

bornée si la fonction est à la fois majorée et minorée. Graphiquement, cela signifie que la fonction reste coincée entre deux lignes horizontales.

Définition 5.13.

Une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ est

•

croissante sur $D$ si le fait que $x$ soit inférieur à $y$ implique $f(x)$ est inférieur à $f(y)$ . On écrit ça formellement sous la forme :

$\forall x\in D,\forall y\in D,x\leq y\implies f(x)\leq f(y).$

Le graphe de la fonction ne fait que monter (les plateaux sont autorisés) ;
•

décroissante sur $D$ si le fait que $x$ soit inférieur à $y$ implique $f(x)$ est supérieur à $f(y)$ :

$\forall x\in D,\forall y\in D,x\leq y\implies f(x)\geq f(y).$

Lorsque les inégalités sont strictes, on parle de fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes.

Quizz 5.14 (Composition de fonctions).

Le graphe suivant donne l’altitude $h(t)$ d’un avion en fonction du temps $t$ (heure) écoulé depuis le début du vol:

Le deuxième graphe donne la pression atmosphérique en fonction de l’altitude au-dessus du niveau de la mer.

Parmi les graphes suivants, lequel correspond à la pression atmosphérique autour de l’avion en fonction du temps écoulé pendant le vol ?

Opérations 5.15.

Somme, produit et composition de fonctions

f(x)+g(x)\hskip 56.9055ptf(x).g(x)\hskip 56.9055ptg\circ f(x)=g(f(x))

Exemple 5.16.

Soient $f(x)=x^{2}+2$ , $g(x)=\sin(x)$ . Alors

•

$f(x)+g(x)=x^{2}+2+\sin(x)$
•

$f(x).g(x)=(x^{2}+2).\sin(x)=x^{2}\sin(x)+2.\sin(x)$
•

$g(f(x))=\sin(x^{2}+2)$ et $f(g(x))=(\sin(x))^{2}+2$

Définition 5.17.

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction. On dit que $f$ est inversible s’il existe une fonction $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tel que

f(g(y))=y,\,\,\,\forall y\in\mathbb{R}

g(f(x))=x,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}

On appele la fonction $g$ la fonction inverse ou réciproque de $f$

Exemple 5.18.

Le graphe de la réciproque:

Exemple 5.19.

La fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ donnée par $f(x)=x$ est inversible, avec fonction réciproque $g=f$ . En effet, si on pose $g(x)=x$ , on a $g(f(x))=g(x)=x$ et $f(g(x))=f(x)=x$ .

Attention 5.20.

Ne confondez pas l’inverse d’une fonction $f$ avec l’inverse d’un nombre. Nous utilisons le mot ”inverse” avec deux significations différentes. Si $a$ est un nombre, son inverse est $\frac{1}{a}$ . La fonction $g(x)=\frac{1}{x}$ n’est pas l’inverse de la fonction $f(x)=x$ bien que pour chaque $x$ , $\frac{1}{x}$ soit l’inverse du nombre $x$ .