I Première partie: Cycle d’accueil 3 Racines d’un nombre complexe 5 Fonctions.Exemples. Composition

CM 4: Polynômes

Définition 4.1.

Un polynôme à coefficients réels ou complexes est une expression de la forme

P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_{1}X+a_{0}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k},

où les $a_{k}$ sont des éléments de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , appelés les coefficients du polynôme $P$ . Si $a_{n}\neq 0$ , le degré du polynôme $P$ est $\deg P=n$ . Le polynôme $P$ est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On écrit $\mathbb{R}[X]$ , $\mathbb{C}[X]$ pour l’ensemble des polynômes à coefficients réels ou complexes.

Operation 4.2.

(Multiplication, Somme et multiplication par un scalaire)

•

On peut multiplier un polynôme $P=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ par un nombre réel ou complexe $t$ : on obtient le polynôme $t\cdot P$ de même degré que $P$ :

$t\cdot P=\sum_{k=0}^{n}(ta_{k})X^{k}.$
•

On peut ajouter deux polynômes $P=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ et $Q=\sum_{k=0}^{m}b_{k}X^{k}$ . On obtient le polynôme $P+Q$ , de degré inférieur ou égal au maximum des degrés de $P$ et $Q$ :

$P+Q=\sum_{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})X^{k}.$
•

Pour le produit, il faut être plus précis dans les notations. Si $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ est un polynôme de degré $n$ et $Q(X)=\sum_{k=0}^{m}b_{k}X^{k}$ est de degré $m$ , alors le produit

$P\cdot Q(X)=c_{n+m}X^{n+m}+c_{n+m-1}X^{n+m-1}+\dots+c_{0}$

est un polynôme de degré

$\deg(P\cdot Q)=\deg(P)+\deg(Q)=n+m.$

Ses coefficients sont donnés par des sommes finies, qu’on calcule en développant le produit :

$c_{0}=a_{0}b_{0}$

$c_{1}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}$

$c_{2}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}$

$\vdots$

$c_{l}=a_{0}b_{l}+a_{1}b_{l-1}+\dots+a_{l}b_{0}=\sum_{i,j\geq 0,i+j=l}a_{i}b_{j}$

$c_{n+m}=a_{n}b_{m}$

Exemple 4.3.

Soient $P(X)=2X^{5}+2X^{3}$ , $Q(X)=4X^{10}+3X^{2}+X+2$ . Alors

P(X).Q(X)=(2X^{5}+2X^{3})(4X^{10}+3X^{2}+X+2)=

=2.X^{5}.(4X^{10}+3X^{2}+X+2)+2X^{3}.(4X^{10}+3X^{2}+X+2)

=8X^{15}+6X^{7}+2X^{6}+4X^{5}+8X^{13}+6X^{5}+2X^{4}+4X^{3}=

=8X^{15}+8X^{13}+6X^{7}+2X^{6}+10X^{5}+2X^{4}+4X^{3}

Définition 4.4.

Soit $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ un polynôme à coefficients complexes. On dit que $\alpha\in\mathbb{C}$ est une racine du polynôme $P$ si $P(\alpha)=0$ .

Énoncé indispensable 4.5.

Si $\alpha\in\mathbb{C}$ est une racine du polynôme $P$ , alors il existe un polynôme $Q$ tel que

P(X)=(X-\alpha)Q(X).

Énoncé indispensable 4.6.

Tout polynôme de degré $\geq 1$ à coefficients complexes admet une racine dans $\mathbb{C}$ . En particulier, tout polynôme $P$ de degré $n\geq 1$ a exactement $n$ racines complexes (parfois répétées) $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ . Il se factorise sous la forme :

P=a(X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{n})=a\prod_{k=1}^{n}(X-\alpha_{k}).

Exemple 4.7.

•

Le polynôme $X^{3}-1$ admet une seule racine dans $\mathbb{R}$ . Mais dans $\mathbb{C}$ on trouve aussi $e^{i\frac{2p}{3}}$ et $e^{i2.\frac{2p}{3}}$ . Donc, sur $\mathbb{C}$ on peut factoriser

$X^{3}-1=(X-1)(X-e^{i\frac{2p}{3}})(X-e^{i2\frac{2p}{3}})$
•

On a la factorisation complète

$X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right).$

Exemple 4.8.

(Multiplicité) Soit $P(X)=(X-1)^{2}(X+1)=(X-1)(X-1)(X+1)$ . La racine $X=1$ apparaît deux fois. On dit qu’elle a une multiplicité 2.

Définition 4.9.

Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme à coefficients complexes. On dit que $a\in\mathbb{C}$ est une racine de multiplicité $m$ s’il existe un polynôme $Q$ tel que

P(X)=(X-a)^{m}Q(X)

avec $Q(a)\neq 0$ . (On dit aussi que $a$ est une racine d’ordre $m$ de $P$ .)

Pour savoir si une racine est multiple et connaître son ordre, il faut considérer les polynômes dérivés.

Définition 4.10.

Soit $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ un polynôme de degré $n$ à coefficients complexes. La dérivée de $P$ est le polynôme $P^{\prime}$ de degré $n-1$ à coefficients complexes donné par

P^{\prime}(X)=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\dots+ka_{k}X^{k-1}+\dots+2a_{% 2}X+a_{1}.

On va établir un critère pour vérifier que $a$ est une racine d’ordre $m$ de $P$ . Ce critère s’énonce en termes des dérivées successives $P^{\prime}$ , $P^{\prime\prime}=P^{(2)}$ , $P^{\prime\prime\prime}=P^{(3)}$ , …, $P^{(k)}$ du polynôme $P$ .

Proposition 4.11.

(Caractérisation d’une racine multiple). Soit $m\geq 1$ un entier. Le nombre complexe $a$ est une racine de multiplicité $m$ du polynôme $P$ si et seulement si les dérivées successives de $P$ vérifient

P(a)=0=P^{\prime}(a)=\dots=P^{(m-1)}(a),

et $P^{(m)}(a)\neq 0$ .