I Première partie: Cycle d’accueil 2 Nombres Complexes et la formule d’Euler 4 Polynômes

CM 3: Racines d’un nombre complexe

Exemple 3.1.

Le carré d’un nombre complexe $z$ c’est le nombre complex $z^{2}=z.z$ .

Exemple 3.2.

Puissances d’un nombre complexe: forme polaire et cartesienne.

Définition 3.3.

Une racine $n$ -ième d’un nombre complexe $z$ c’est un nombre complexe $w$ tel que $w^{n}=z$ .

Exemple 3.4.

Racines d’un nombre complexe:

Énoncé indispensable 3.5.

Comment trouver les racines carrées d’un nombre complexe $z$ ?

•

Si $z$ est en coordonnées polaires, c’est facile: $z=re^{i\theta}$ alors les racines carrées de z sont

$z_{1}=\sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}},\hskip 56.9055ptz_{2}=\sqrt{r}e^{i(\frac{% \theta}{2}+\pi)}$
•

Si $z$ est en coordonnées cartesiennes, nous pouvons soit le convertir en coordonnées polaires, soit essayer une approche plus directe: On cherche un nombre complexe $w=a+ib$ tel que $w^{2}=z$ . Alors

$w^{2}=a^{2}-b^{2}+i.2.a.b=x+iy$

Donc on retrouve un système d’équations:

$\begin{cases}a^{2}-b^{2}=x,&\text{pour la partie réelle}\\ 2ab=y,&\text{pour la partie imaginaire}\end{cases}$

et une troisième équation: si $w^{2}=z$ alors $|w^{2}|=|w|^{2}=|z|$ donc $a^{2}+b^{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Donc on a un système à trois équations:

$\begin{cases}a^{2}-b^{2}=x,&\text{pour la partie réelle}\\ 2ab=y,&\text{pour la partie imaginaire}\\ a^{2}+b^{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}&\text{pour les modules}\end{cases}$

Énoncé indispensable 3.6.

Racines de l’unité

z^{n}=1

Il y a n solutions:

1,e^{i\frac{2\pi}{n}},e^{i2.\frac{2\pi}{n}},e^{i3.\frac{2\pi}{n}},\cdots,e^{i(% n-1)\frac{2\pi}{n}}

Ou alors, sous la forme

e^{ik\frac{2\pi}{n}},k\in\{0,1,\cdots,n-1\}

Exercice 3.7.

Montrer que

\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi k}{n}}

tandis que

\prod_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi k}{n}}=(-1)^{n}.

Énoncé indispensable 3.8.

Équations du second degré:

On considère une équation du second degré $az^{2}+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb{C}$ et $a\neq 0$ . Son discriminant est $\Delta=b^{2}-4ac$ . On note $\pm\delta$ les deux racines carrées complexes de $\Delta$ (éventuellement confondues). Alors l’équation a deux solutions dans $\mathbb{C}$ (éventuellement confondues) : $\frac{-b\pm\delta}{2a}$ .