I Première partie: Cycle d’accueil 1 Vecteurs, Produit scalaire, produit vectoriel, équations des droites et plans 3 Racines d’un nombre complexe

CM 2: Nombres Complexes et la formule d’Euler

Exemple 2.1.

Chaque généralisation historique du concept de nombre résout un problème.

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Nombres naturels $\mathbb{N}$ := $\{0,1,2,3,etc\}$ avec sommes et multiplications - compter les objets dans la vie quotidienne.

Problème: L’équation $x+1=0$ n’admet pas de solutions dans $\mathbb{N}$ .
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Nombres entiers $\mathbb{Z}$ = $\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\}$ - nombres négatifs pour prendre en compte les soustractions.

L’équation $x+1$ admet une solution dans $\mathbb{Z}$ , $x=-1$ .

Problème: L’équation $2x=3$ n’admet pas de solutions dans $\mathbb{Z}$ (Ex: Partager 3 pommes entre 2 personnes. Combien de pommes $x$ revient à chaque personne ?)
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Nombres rationnels $\mathbb{Q}$ $=\{\cdots,-2,\cdots,\frac{-3}{2},\cdots,1,\cdots,-\frac{1}{2},\cdots,-\frac{1}% {8},\cdots,0,\cdots\}$ permettent les résultats de divisions de nombres entiers.

Problème: Quelle est la longueur $x$ de la diagonale d’un carré de côté de 1 ? Réponse: $x^{2}=1^{2}+1^{2}$ , donc $x=\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ n’est pas le résultat d’une division de deux nombres entiers, donc $\sqrt{2}$ est un nouveau type de nombre. Un nombre algébrique.
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Quelle est l’aire d’un cercle de rayon 1 ?

La réponse c’est $\pi$ . Ce n’est ni un nombre rationnel ni un nombre algébrique. C’est un nouveau type de nombre: un nombre réel.
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Le nombre d’Euler $e$ . Découvert à la fin du XVIIe siècle, $e$ résout un problème de dynamique : quelle est la fonction $f$ dont la vitesse $f^{\prime}$ est égale à $f$ elle-même, c’est-à-dire $f^{\prime}=f$ ?

$e$ est un nombre réel.

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}

Définition 2.2.

Nombres complexes: forme cartesienne. Un nombre complex $z$ est un nombre de la forme

z=x+iy

où, $x,y\in\mathbb{R}$ et $i^{2}=1$ .

Nous appelons:

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$x$ la partie réelle de $z$ . On écrit $x=\mathcal{R}(z)$ .
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$y$ la partie imaginaire de $z$ . On écrit $y=\mathcal{I}(z)$ .
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$|z|:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ le module de $z$ .
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Le nombre complex $\overline{z}:=x-iy$ est le conjugé de $z$ .

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales

Attention 2.3.

Écrire $i=\sqrt{-1}$ n’a pas de sens formel. Si $\sqrt{-1}$ avait un sens naturel, alors on aurait $-1=(\sqrt{-1})^{2}=(\sqrt{-1})^{2}=1=1$ : clairement, ça ne va pas.

Operation 2.4.

Somme de nombres complexes: forme cartesienne:

z=a+ib,\hskip 28.45274ptz^{\prime}=x+iy

z+z^{\prime}=a+ib+x+iy=(a+x)+i(b+y)

Operation 2.5.

Multiplication de nombres complexes: forme cartesienne

z=a+ib,\hskip 28.45274ptz^{\prime}=x+iy

z.z^{\prime}=(a+ib)(x+iy)=ax+aiy+ibx+i^{2}.by=(ax-by)+i(ay+bx)

Exercice 2.6.

Vérifier que $z.\overline{z}=|z|^{2}$ .

Operation 2.7.

(L’inverse d’un nombre complex) Soit $z=x+iy$ un nombre complex. Si $z\neq 0$ alors z admet un inverse, c.a.d, il exist un nombre complex $z^{-1}$ , tel que

z.z^{-1}=1

Trouvons une formule pour $z^{-1}$ :

z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}

En effet,

z.\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}=\frac{z.\overline{z}}{|z|^{2}}=\frac{|z|^{2}}{|% z|^{2}}=1

Exemple 2.8.

On calcule l’inverse du nombre complex $z=1+i$ . Par la formule précédent, on a

z^{-1}=\frac{\overline{1+i}}{|1+i|^{2}}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i

On vérifie que en effet:

(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)(1+i)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i+\frac{1}% {2}=1

Attention 2.9.

En général, $|z_{1}+z_{2}|\neq|z_{1}|+|z_{2}|$ . Par exemple, si $z_{1}=1+i$ et $z_{2}=\overline{z_{1}}=1-i$ , alors

z_{1}+\overline{z}_{1}=1+i+1-i=2

Donc $|z_{1}+z_{2}|=2$ . Par contre, $|z_{1}|=|z_{2}|=\sqrt{2}$

Proposition 2.10.

( inégalité triangulaire)

|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|

Exemple 2.11.

Le nombre complex $z=1+i$ est solution de l’équation $x^{2}-2x+2=0$ . En effet:

(1+i)^{2}-2.(1+i)+2=(1+i)(1+i)-2-i+2=1+i+i+i^{2}-2i=1+2i-1-2i=0

Remarque 2.12.

Multiplication par $i$ = rotation de $90^{\circ}$

Énoncé indispensable 2.13.

Formule d’Euler pour l’exponentielle complexe

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i.\sin(\theta)

Énoncé indispensable 2.14.

L’exponentielle transforme la somme en produits

e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}=e^{i\theta_{1}}.e^{i.\theta_{2}}

Corollaire 2.15.

\cos(\theta_{1}+\theta_{2})=\cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2})-\sin(\theta_{1}).% \sin(\theta_{2})

\sin(\theta_{1}+\theta_{2})=\cos(\theta_{1})\sin(\theta_{2})+\sin(\theta_{1}).% \cos(\theta_{2})

Démonstration.

On utilise $e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}=e^{i\theta_{1}}.e^{i.\theta_{2}}$ . Par la formule d’Euler

e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}=\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+% \theta_{2})

Par contre,

e^{i\theta_{1}}.e^{i.\theta_{2}}=(\cos(\theta_{1})+i\sin(\theta_{1}))(\cos(% \theta_{2})+i\sin(\theta_{2}))=

=(\cos(\theta_{1}).\cos(\theta_{1})-\sin(\theta_{1}).\sin(\theta_{2}))+i(\cos(% \theta_{1}).\sin(\theta_{2})+\sin(\theta_{1}).\cos(\theta_{2}))

Finalement, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales ∎

Définition 2.16.

Nombres complexes: forme polaire

z=re^{i\theta}\hskip 28.45274pt\text{avec }r\geq 0

Exemple 2.17.

Le nombre $z=-e^{i\frac{\pi}{3}}$ n’est pas sous forme polaire. En effet, sous forme polaire il faut avoir $z=r.e^{i\theta}$ avec $r\geq 0$ . Pour corriger, on écrit

-1=e^{i\pi}

Donc

z=-e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\pi}.e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i(\pi+\frac{\pi}{3})}=e^{% i(\frac{3\pi+\pi}{3})}=e^{i\frac{4\pi}{3}}

Remarque 2.18.

L’équation de Schrödinger, qui régit la structure des atomes, contient des nombres complexes.

i.\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)=\hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)