I Première partie: Cycle d’accueil I Première partie: Cycle d’accueil 2 Nombres Complexes et la formule d’Euler

CM 1: Vecteurs, Produit scalaire, produit vectoriel, équations des droites et plans

1.1 Vecteurs

Définition 1.1.

Le plan cartésien $\mathbb{R}^{2}=\{\text{paires ordonnés }(x,y):x,y\in\mathbb{R}\}$

Attention: $(1,2)\neq(2,1)$

Exemple 1.2.

Points et Vecteurs du Plan

Définition 1.3.

Egalité de vecteurs. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent:

•

la même direction (colinéaires),
•

le même sens
•

la même longeur (norme)

Operation 1.4.

Somme de deux vecteurs $\vec{v}+\vec{w}$ du plan

Operation 1.5.

Multiplication d’un vecteur du plan $\vec{v}$ par un scalaire $\lambda$ , $\lambda\vec{v}$

Exemple 1.6.

L’espace cartésien $\mathbb{R}^{3}$ .

Exemple 1.7.

Somme de vecteurs dans l’espace

Operation 1.8.

Combinaison de sommes et multiplications par scalaires (combinaison linéaire):

\lambda_{1}\vec{v_{1}}+\lambda_{2}\vec{v_{2}}+\cdots\lambda_{n}\vec{v_{n}}

Exemple 1.9.

Combinaisons linéaires dans le plan.

Exemple 1.10.

Combinaisons linéaires dans l’espace.

Exercice 1.11.

Considerons les vecteurs du plan

Écrire:

1.

Le vecteur $\vec{w}$ comme combinaison lineaire de $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ;
2.

Le vecteur $\vec{v}$ comme combinaison lineaire de $\vec{w}$ et $\vec{u}$ ;
3.

Le vecteur $\vec{u}$ comme combinaison lineaire de $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ;

Définition 1.12.

On dit qu’une famille de vecteurs (du plan ou de l’espace)

\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\cdots,\vec{v_{n}}

est liée s’il exist une choix de coefficients $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ non tous nuls tels que

\lambda_{1}\vec{v_{1}}+\lambda_{2}\vec{v_{2}}+\cdots\lambda_{n}\vec{v_{n}}=% \vec{0}

Dans le cas contraire on dit que la famille est libre.

Exemple 1.13.

La famille de vecteurs du plan $\vec{e_{1}}=(1,0),\vec{e_{2}}=(0,1)$ est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient

\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}=\lambda_{1}.\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+\lambda_{2}.\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ \lambda_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\end{pmatrix}

Donc, $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ .

Exemple 1.14.

La famille de vecteurs de l’espace

\vec{e_{1}}=(1,0,0),\vec{e_{2}}=(0,1,0),\vec{e_{3}}=(0,0,1)

est libre: En effet, si nous essayons d’écrire une combinaison linéaire nulle, on obtient

\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\lambda_{1}.\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\lambda_{2}.\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+\lambda_{3}.\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ \lambda_{2}\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \lambda_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \lambda_{3}\end{pmatrix}

Donc, $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$ .

Exercice 1.15.

Montrer que la famillie de vecteurs du plan $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ de l’1.11 est liée.

Exemple 1.16.

Une famille de deux vecteurs non-nuls $\vec{v}$ et $\vec{u}$ est liée si et seulement si les vecteurs sont colinéaires. En effet, par définition, si $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont liées, il existent $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ des coefficients non-nuls, tels que

\lambda_{1}.\vec{v}+\lambda_{2}.\vec{u}=\vec{0}

Donc,

\lambda_{2}\vec{u}=-\lambda_{1}\vec{v}

ou alors

\vec{u}=-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}.\vec{v}

Donc, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Inversement, si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, par définition, il exist $\lambda$ non-nul tel que $\vec{u}=\lambda\vec{v}$ . Donc on a l’équation

\vec{u}-\lambda.\vec{v}=\vec{0}

Donc les vecteurs sont liées.

Exemple 1.17.

Une famille de deux vecteurs colinéaires dans l’espace est toujours liée:

Définition 1.18.

Une base de vecteurs:

•

dans le plan = famille libre avec deux vecteurs
•

dans l’espace = famille libre avec trois vecteurs.

Exemple 1.19.

Base canonique

Dans le plan: $\vec{e_{1}}=(1,0),\vec{e_{2}}=(0,1)$

Dans l’espace: $\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$

Définition 1.20.

Par le théorème de Pythagore la longuer d’un vector $\vec{v}=(v_{x},v_{y})$ dans le plan est

||\vec{v}||:=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

et pout $\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})$ dans l’espace est

||\vec{v}||:=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}

Remarque 1.21.

||\lambda\vec{v}||=\lambda.||\vec{v}||

1.2 Produit scalaire et angles

Définition 1.22.

Produit scalaire: à chaque paire de vecteurs $\vec{u},\vec{v}$ on associe un nombre $\vec{u}.\vec{v}$ :

•

Dans le plan: si $\vec{v}=(v_{x},v_{y})$ et $\vec{u}=(u_{x},u_{y})$ alors

$\vec{u}.\vec{v}:=u_{x}.v_{x}+u_{y}.v_{y}$
•

Dans l’espace: si $\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})$ et $\vec{u}=(u_{x},u_{y},u_{z})$ alors

$\vec{u}.\vec{v}:=u_{x}.v_{x}+u_{y}.v_{y}+u_{z}.v_{z}$

Propriétés 1.23.

Propriétés du produit scalaire:

•

$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
•

$\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}$
•

$(\lambda\vec{u}).\vec{v}=\lambda\,\,\,(\vec{u}.\vec{v})$
•

$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}\,\,\,+\vec{u}.\vec{w}$

Exemple 1.24.

Considerons les vecteurs du plan

Alors:

•

$\vec{u}.\vec{v}=(-1).6+2.2=-6+4=-2$
•

$\vec{u}.\vec{w}=(-1).3+2.4=-3+8=5$
•

$\vec{v}+\vec{w}=(6+3,2+4)=(9,6)$ . Alors

$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=(-1).9+2.6=-9+12=3=5-2$

Définition 1.25.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs (dans le plan ou dans l’espace). L’angle $\gamma$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l’angle $\gamma$ dans le triangle

Exemple 1.26.

Exemple dans le plan

Exemple 1.27.

Exemples dans l’espace:

Rappel 1.28.

Sinus et Cosinus

Angle	$\sin(\theta)$	$\cos(\theta)$
$0$	$0$	$1$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$
$\pi$	$0$	$-1$

Table 1: Valeurs du sinus et du cosinus

Proposition 1.29.

Le produit scalaire indique la composante d’un vecteur $\vec{u}$ le longue la direction d’un autre vecteur $\vec{v}$ .

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos(\gamma)

Démonstration.

La relation entre l’angle et le product scalaire provient du théorème de Pythagore généralisé:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.a.b\cos(\gamma)$

On l’applique à

Pour trouver

||(\vec{u}-\vec{v})||^{2}=||\vec{v}||^{2}+||\vec{u}||^{2}-2||\vec{v}||.||\vec{% u}||.\cos(\gamma)

Mais en même temps

||(\vec{u}-\vec{v})||^{2}=(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}.\vec{u}+% \vec{v}.\vec{v}-2.\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2}-2.\vec{u}.% \vec{v}

Donc

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos(\gamma)

∎

Application 1.30.

La projection d’un vecteur $\vec{v}$ sur un vecteur $\vec{w}$ c’est le vecteur

p_{\vec{v}/\vec{w}}:=\frac{\vec{v}.\vec{w}}{||\vec{w}||^{2}}\vec{w}

avec:

•

La même direction de $\vec{w}$
•

Norme

$||p_{\vec{v}/\vec{w}}||=||\left(\frac{\vec{v}.\vec{w}}{||\vec{w}||^{2}}\vec{w}% \right)||=\frac{\vec{v}.\vec{w}}{||\vec{w}||^{2}}||\vec{w}||=\frac{\vec{v}.% \vec{w}}{||\vec{w}||}=\frac{||\vec{v}||.||\vec{w}||\cos(\gamma)}{||\vec{w}||}=% ||\vec{v}||.\cos(\gamma)$

Exemple 1.31.

On calcule la projection de $\vec{v}=(1,2)$ sur le vecteur $\vec{w}=(1,1)$ .

p_{\vec{v}/\vec{w}}=\frac{(1+2)}{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}\end{pmatrix}

Définition 1.32.

On dit qu’un vecteur $\vec{v}$ est perpendicular à un vecteur $\vec{w}$ si l’angle entre $\vec{v}$ et $\vec{w}$ est $\frac{\pi}{2}$ rad (= $90^{\circ}$ ).

Proposition 1.33.

Le produit scalaire entre deux vecteurs non nuls est égal à 0 (zéro) si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.

Démonstration.

On utilise la formule $\vec{u}.\vec{v}=||\vec{v}||.||\vec{u}||.\cos(\gamma)$ . Comme les vecteurs sont non nuls, leur longuer est aussi non nulle. Donc, le membre de gauche s’anulle si et seulement si $\cos(\gamma)=0$ , ie, si et seulement si $\gamma=\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2}$ . Dans les deux cas, les vecteurs sont orthogonaux. ∎

Corollaire 1.34.

Soit $\vec{v}=\begin{pmatrix}a,b\end{pmatrix}$ un vecteur do plan. Alors le vecteur $\vec{w}=\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{v}$

Démonstration.

Il suffit de voir que le produit scalaire $\vec{v}.\vec{w}$ s’annulle:

\vec{v}.\vec{w}=a(-b)+b(a)=0

∎

1.3 Produit vectoriel (dans l’espace)

Operation 1.35.

L’opération de produit vectoriel est exclusive aux vecteurs dans l’espace. Si on a $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\end{pmatrix}$ et $\vec{w}=\begin{pmatrix}w_{x}\\ w_{y}\\ w_{z}\end{pmatrix}$ vecteurs dans l’espace, on introduit le nouveau vecteur

\vec{v}\wedge\vec{w}=\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}\\ v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}\\ v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}\end{pmatrix}

Exemple 1.36.

$\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec{w}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$

\vec{v}\wedge\vec{w}=\begin{pmatrix}0.1-1.1\\ 1.0-1.1\\ 1.1-0.0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}

Propriétés 1.37.

(produit scalaire et produit vectoriel)

1.

$\vec{v}.(\vec{v}\wedge\vec{w})=0\hskip 56.9055pt\vec{w}.(\vec{v}\wedge\vec{w})=0$

En particulier, $\vec{v}\wedge\vec{w}$ est toujours orthogonal à $\vec{v}$ et $\vec{w}$ .
2.

$||\vec{v}\wedge\vec{w}||=||\vec{v}||.||\vec{w}||.\sin(\gamma)=\text{aire du % paral lélogramme engendré par les vecteurs }\vec{v},\vec{w}$
3.

$\vec{v}\wedge\vec{w}=-\vec{w}\wedge\vec{v}$
4.

$\vec{\lambda v}\wedge\vec{w}=\lambda\vec{v}\wedge\vec{w}$
5.

$(\vec{v}+\vec{u})\wedge\vec{w}=\vec{v}\wedge\vec{w}+\vec{u}\wedge\vec{w}$

1.4 Équations des droites et plans

Définition 1.38.

L équation paramétrique d’une droite $D$ dans le plan passant par le point $A$ et dirigée par $\vec{v}$

\{P=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}:P=A+\lambda.\vec{v},\lambda\in\mathbb{R}\}=\{P% =\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}:\vec{AP}=\lambda\vec{v}\}

C’est l’ensemble des points $P$ du plan tel que le vecteur $\vec{AP}$ est colinéaire à $\vec{v}$ .

Définition 1.39.

(Équation Cartésienne d’une droite dans le plan) Un point $P=(x,y)$ est dans la droite $D$ du plan, passant par le point $A=(x_{0},y_{0})$ et dirigée par le vecteur $\vec{v}=\begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AP}$ et le vecteur du 1.34 , $\vec{w}=\begin{pmatrix}-t\\ s\end{pmatrix}$ , sont orthogonaux, ie

\vec{AP}.\vec{w}=-t(x-x_{0})+s(y-y_{0})=0

Si $s\neq 0$ , c’est bien l’équation apprise au lycée:

y=ax+b

avec

a=\frac{-t}{s}\hskip 28.45274ptb=\frac{-t.x_{0}}{s}+y_{0}

Exemple 1.40.

Soit $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}$ et $A=(1,0)$ . Sans faire des dessins, est-ce que le point $P=(2,3)$ appartient à la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{v}$ ?

Pour répondre, il suffit de voir si le point P vérifie l’équation cartesienne de la droite:

s=1,t=2,x_{0}=1,y_{0}=0

Donc,

-1(x-1)+2.(y-0)=0\Leftrightarrow-(x-1)+2y=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x-% \frac{1}{2}

Exemple 1.41.

Soit $D$ la droite du plans donnée par l’équation paramétrique

\{\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}:(x,y)=(1,0)+\lambda.(2,1),\lambda\in\mathbb{R}\}

On peut trouver l’équation cartesienne, on regardent l’équation paramétrique en chaque coordonnée:

x=1+2\lambda,\hskip 28.45274pty=0+1.\lambda

d’où,

\lambda=\frac{x-1}{2}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\hskip 28.45274pt\lambda=y

Donc

\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=y

Définition 1.42.

Équation Cartésienne d’un plan dans l’espace passant par un point $Q=(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de vecteur normal $\vec{v}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}$ :

\{P=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:\vec{v}.\vec{QP}=0\}=\{(x,y,z):a(x-x_{0})+b(y-y_{% 0})+c(z-z_{0})=0\}

ax+by+cz+d=0

où $d=-a.x_{0}-b.y_{0}-c.z_{0}$ .

Définition 1.43.

Équation paramétrique d’un plan dans l’espace, passant par un point $Q=(x_{0},y_{0},z_{0})$ dirigée par deux vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ non colinéaires:

\{P=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:P=Q+\lambda_{1}\vec{v}+\lambda_{2}.\vec{w}\}