II Deuxième partie: Analyse des fonctions 12 Développements Limités 14 Fonctions de deux variables et dérivées partielles

CM 13: Développements Limités: Suite

Théorème 13.1 (Taylor).

Soit $f$ une fonction $n-1$ fois dérivable dans un intervale ouvert $I$ et dont la dérivée n-ième en $0\in I$ existe. Alors $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $0$ , donnée par le polynôme de Taylor en $0$

P_{n}(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2}x^{2}+\frac{f^{3}(0)}{3!}x^{3}+% \cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}

C.a.d, le reste $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ est négligeable devant $x^{n}$ .

Pour demontrer le thèorème on aura besoin d’utiliser le théoreme des accroissements finis:

Exemple 13.2.

Changer les parametres $a$ et $b$ :

Preuve du theorem 13.1.

Supposons pour commencer le cas $n=1$ , c.à.d $f$ est une fonction continue et dont sa dérivé en $0$ existe. Alors, il faut montrer que

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-(f(0)+f^{\prime}(0)x)}{x}=0

Mais

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-(f(0)+f^{\prime}(0)x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)% }{x}-f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)-f^{\prime}(0)=0

où on a utilisé le fait que $f$ admet une dérivé en $0$ .

Supposons maintenant que le théorème est vrai pour $n$ et montrons qu’il reste vrai pour $n+1$ . Soit donc $f$ une fonction $n$ fois dérivable dont la dérivée $(n+1)$ -ième en $0$ existe.

Il faut montrer que

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-(f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2}x^{2}+\frac{f^{% 3}(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(0)}{(n+1)!}x^{n+% 1})}{x^{n+1}}=0

Posons

R_{n+1}(x):=f(x)-(f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2}x^{2}+\frac{f^{3}(0)}{% 3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(0)}{(n+1)!}x^{n+1})

Alors, il faut montrer que

\lim_{x\to 0}\frac{R_{n+1}(x)}{x^{n+1}}=0

On remarque que $R_{n+1}(0)=0$ . Donc

\lim_{x\to 0}\frac{R_{n+1}(x)}{x^{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{R_{n+1}(x)-U_{n}(0)% }{x}\frac{1}{x^{n}}=\lim_{x\to 0}\frac{R_{n+1}(x)-R_{n+1}(0)}{x-0}\frac{1}{x^{% n}}

Par le theorem 11.1, il existe $c\in]0,x[$ tel que

\lim_{x\to 0}\frac{R_{n+1}(x)}{x^{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{R^{\prime}_{n+1}(c)% }{x^{n}}=\lim_{x\to 0}\frac{R^{\prime}_{n+1}(x)}{x^{n}}

On remarque que

R^{\prime}_{n+1}(x)=f^{\prime}(x)-(f^{\prime}(0)+\frac{f^{2}(0)}{x}+\frac{f^{3% }(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{n}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{f^{n+1}(0)}{n!}x^{n})

est exactement le reste d’ordre $n$ du polynome de taylor de $f^{\prime}$ . Par hypothèse de récurrence, on a donc

\lim_{x\to 0}\frac{R^{\prime}_{n+1}(x)}{x^{n}}=0

∎

Exemple 13.3.

Le graphique suivant montre les $\frac{R_{n}(x)}{x^{n}}$ successives:

Opérations 13.4.

Soient $n$ un entier et $I$ un intervalle ouvert contenant $0$ . Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$ , admettant chacune un développement limité d’ordre $n$ en $0$ :

f(x)=P_{n}(x)+o(x^{n})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g(x)=Q_{n}(x)+o(x^{n})

Alors:

1.

$f+g$ admet un développment limité d’ordre $n$ donné par la somme des polynômes $P_{n}+Q_{n}$
2.

$f g$ admet un développment limité d’ordre $n$ donné par les termes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ du produit du polynôme $P_{n}Q_{n}$
3.

Supposons $g(0)=0$ . Alors $f\circ g$ admet un développment limité d’ordre $n$ donné par les termes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ du produit du polynôme $P_{n}\circ Q_{n}$

Exemple 13.5.

Dans cet exemple, nous utilisons les approximations de Taylor de $f=\sqrt{(}1+x)$ pour calculer la valeur de $\sqrt{(}2)=\sqrt{(}1+1)$ . Plus l’ordre est important, plus nous obtenons des résultats précis.

Exemple 13.6.

On considère la fonction

f(X)=\begin{cases}e^{\frac{-1}{x^{2}}}&x\neq 0\\ 0&x=0\end{cases}

Nous pouvons montrer que $f$ est $n$ fois dérivable et que $f^{n}(0)=0$ pour tout $n$ . Donc, $f$ admet comme développements limités les polynômes $P_{n}=0$ pour tout $n\geq 0$ . En particulier, cela ne permet pas de retrouver l’intégralité du graphe de $f$ lorsque l’on n’est pas proche de zéro.

Exemple 13.7.

L’exemple ci-dessous montre que la somme des termes du développement de Taylor ne récupere pas nécessairement la totalité de la fonction originale, même si l’on additionne un nombre infini de termes.

On considère le développment de $f=\ln(x)$ en $x_{0}=1$ et nous essayons d’utiliser les approximations polynomiales pour calculer le point $B=ln(3)$ .

Nous constatons que les approximations de Taylor successives (le point $C$ ) s’éloignent de plus en plus de $B$ au fur et à mesure que l’ordre augmente.

Proposition 13.8.

Soit $f$ une fonction infiniment dérivable dans un intervale ouvert $I$ avec $0\in I$ . Alors la série de Taylor de $f$ converge vers $f$ si et seulement si le reste $R_{n}(x)$ converge vers zéro lorsque $n$ va vers l’infini.

Proposition 13.9 (Formule pour le reste).

Soit $f$ une fonction $n+1$ fois dérivable dans un intervale ouvert $I$ avec $0\in I$ . Alors

R_{n}(x)=\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{n+1}(t)dt

Démonstration.

Pour $n=0$ , on a

R_{0}(x)=f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}f^{\prime}(t)dt

Supposons maintenat que la formule est vrai pour $n$ et montrons pour $n+1$ . Par construction,

R_{n}(x)=f^{n+1}(0)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+R_{n+1}(x)

Par intégration par parties, on a

\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+2}(t)dt=[\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}% .f^{n+1}(t)]_{0}^{x}-\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{(n)!}f^{n+1}(t)dt

=-\frac{(x)^{n+1}}{(n+1)!}.f^{n+1}(0)+R_{n}(x)

∎

Exercice 13.10.

Montrer que la série de Taylor de la fonction exponentielle $e^{x}$ converge vers la fonction exponentielle, c.a.d, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a $\lim_{n\to\infty}|R_{n}(x)|=0$ et donc

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}

Le graphe suivant montre les functions $R_{n}(x)$ et $\frac{R_{n}(x)}{x^{n}}$ pour la fonction exponentialle.

Exercice 13.11.

Supposons qu’il existe une constante $C$ tel que pour tout $n$ , $|f^{n}(x)|\leq C,\forall x\in I$ . Montrer que la serie de Taylor de $f$ en $0$ converge vers $f(x)$ . Montrer que c’est le cas des fonctions $\sin$ et $\cos$ . Remplacez l’exponentielle par les fonctions cosinus et sinus dans le graphique ci-dessus.

Remarque 13.12.

L’idée d’approximer une fonction compliquée par des fonctions plus simples est importante dans l’IA. Comme dans le cas des développements limités, il y a un théorème mathématique qui garantit que toute fonction continue peut être approximée par des fonctions plus simples appelées ”réseaux de neurones”. Voir l’article Cybenko 1989.