II Deuxième partie: Analyse des fonctions 11 Théorème des Accroissements Finis 13 Développements Limités: Suite

CM 12: Développements Limités

Exercice 12.1.

Modifiez les paramètres $a$ , $b$ et $c$ pour trouver la parabole qui se rapproche le plus de la fonction cosinus en $0$ .

Exercice 12.2.

Modifier le paramètre $n$ pour obtenir des approximations polynomiales de meilleure qualité:

1.

$\exp(x)$ ;
2.

$\cos(x)$ ;
3.

$\sin(x)$ ;
4.

$1/(1-x)$ ;
5.

$1/(1+x)$ ;
6.

$\ln(1+x)$ ;
7.

$\sqrt{1+x}$ ;
8.

$\sin(x)*\cosh(x)$ ;
9.

$\exp(\exp(x))$ ;
10.

$\tan(x)$ , $1/\cos(x)$ ;

On a besoin d’un critère pour dire que deux fonctions $f$ et $g$ sont proches en $a$ :

Définition 12.3.

Soient $f$ et $g$ fonctions définies dans une voisinage de $a\in\mathbb{R}$ . On dit que $f$ est negliable devant $g$ en $a$ si

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0

Dans ce cas, nous disons que $f$ est un petit-o de $g$ en $a$ et on écrit

f=o_{a}(g)

Autrement dit, en $a$ , $f$ tend vers zéro plus vite que $g$ .

Exemple 12.4.

$x^{3}=o_{0}(x^{2})$

Exemple 12.5.

$f(x)=\sin(x)$ n’est pas un petit- $o$ de $g(x)=x$ en $0$ car $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

Proposition 12.6.

Si $f$ est négligeable devant $g$ en $x=a$ et $k\in\mathbb{R}$ alors $k . f$ est aussi négligeable devant $g$ en $a$ . Autrement dit,

k.o_{a}(g)=o_{a}(g)

Proposition 12.7.

Soient $n, m$ des entiers positifs. Si $f$ est négligeable devant $g^{n}$ en $x=a$ et $s$ est négligeable devant $g^{m}$ en $x=a$ alors $f+s$ est négligeable devant $g^{min(n,m)}$ . Autrement dit,

o_{a}(g^{n})+o_{a}(g^{m})=o_{a}(g^{min(n,m)})

Proposition 12.8.

Soient $n, m$ des entiers positifs. Si $f$ est négligeable devant $g^{n}$ en $x=a$ alors $g^{m}.f$ est négligeable devant $g^{n+m}$ en $a$ :

g^{m}.o_{a}(g^{n})=o_{a}(g^{n+m})

Proposition 12.9.

Soient $n, m$ des entiers positifs avec $n\geq m$ . Si $f$ est négligeable devant $g^{n}$ en $x=a$ alors $\frac{f}{g^{m}}$ est négligeable devant $g^{n-m}$ en $a$ :

\frac{o_{a}(g^{n})}{g^{m}}=o_{a}(g^{n-m})

Définition 12.10.

Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$ et $n\geq 0$ un entier. On dit que $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $a$ lorsqu’il existe un polynôme $P_{n}$ de degrée $n$ tel que le reste

R_{n}(x):=f(x)-P_{n}(x)

soit négligeable devant $g=(x-a)^{n}$ .

Remarque 12.11.

Nous nous ramènerons toujours à des développements limités au voisinage de $0$ , grâce à l’observation suivante: $f(x)$ admet un développement limité en $a$ si et seulement si la fonction $\phi(h):=f(a+h)$ admet un développement limité en $h=0$ .

f(x)=P_{n}((x-a))+o_{a}((x-a)^{n})\Leftrightarrow\phi(h)=P_{n}(a+h)+o_{0}(h^{n})

Exemple 12.12.

Faire glisser le paramètre $a$ pour voir comment le changement de point équivaut à un déplacement de la fonction.

Proposition 12.13.

Un développement limité, s’il existe, est unique. Plus précisément, si

f(x)=P_{n}(x)+o(x^{n})=Q_{n}(x)+o(x^{n})

Alors $P_{n}=Q_{n}$ .

Démonstration.

$P_{n}-Q_{n}$ est un polynôme de degrée $\leq n$ et par la proposition 12.8, négligeable devant $x^{n}$ . Par conséquent, la seule possibilité est qu’il s’agisse du polynôme zéro. ∎

Théorème 12.14 (Taylor).

Soit $f$ une fonction $n-1$ fois dérivable dans un intervale ouvert $I$ et dont la dérivée n-ième en $0\in I$ existe. Alors $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $0$ , donnée par le polynôme de Taylor en $0$

P_{n}(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2}x^{2}+\frac{f^{3}(0)}{3!}x^{3}+% \cdots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}

C.a.d, le reste $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ est négligeable devant $x^{n}$ .